טופולוגיות אופרטוריות

במחקר המתמטי בתחום האנליזה הפונקציונלית קיימת מספר טופולוגיות סטנדרטיות על $B(H)$ - מרחב האופרטורים הליניארים החסומים על מרחב הילברט H.

הקדמה

תהי $\{T_{n}\}$ סדרה של אופרטורים ליניארים על מרחב הילברט H. ההצהרה $T_{n}\to T$ יכולה להיות בעלת מספר משמעויות שונות, למשל:

• התכנסות בנורמה אופרטורית: $\|T_{n}-T\|\to 0$
• התכנסות נקודתית: $\forall x\in H:T_{n}x\to Tx$
• התכנסות במכפלה פנימית: $\forall x,y\in H:\langle x,T_{n}y\rangle \to \langle x,Ty\rangle$

במקרה הראשון נאמר כי הסדרה מתכנסת בנורמה האופרטורית. שני המקרים האחרונים יותר מורכבים, ולמעשה מגדירים טופולוגיה על H שהיא יותר חלשה מהטופולוגיה המושרית על ידי הנורמה האופרטורית. הטופולוגיה השנייה נקראת הטופולוגיה האופרטורית החזקה (באנגלית Strong Operator Topology או SOT) והשלישית הטופולוגיה האופרטורית החלשה (באנגלית Weak Operator Topology או WOT). ניתן לראות כי הטופולוגיה הראשונה חזקה מהשנייה והשנייה חזקה מהשלישית, עם זאת, לא קיים יחס אחיד בין הטופולוגיה האופרטורית החזקה לבין הטופולוגיה החלשה הסטנדרטית.

רשימה של טופולוגיות על אופרטורים ליניאריים חסומים של מרחבי הילברט

Diagram of relations among topologies on the space B(H) of bounded

ישנו מספר רב של טופולוגיות על $B(H)$, אך אלו הבעלות חשיבות באנליזה פונקציונלית הן טופולוגיות קמורות מקומית. תכונה קריטית של טופולוגיות כאלו הוא שניתן להגדיר אותן דרך משפחה של סמי-נורמות.

למרחב $B(H)$, שהוא מרחב בנך, יש מרחב קדם-צמוד (מרחב המקיים ש-$B(H)$ הוא הצמוד שלו) יחיד שהוא מחלקות העקבה של האופרטורים. נוכל להגדיר לכל איבר חיובי w בקדם-דואלי את הסמי-נורמה $p_{w}(x)=\langle w,x^{\star }x\rangle ^{1/2}$.

אם B הוא מרחב וקטורי של העתקות ליניאריות על המרחב הווקטורי A, אזי $\sigma (A,B)$ מוגדרת להיות הטופולוגיה החלשה ביותר על A בה כל רכיבי B רציפים.

הטופולוגיות הנפוצות ביותר בספרות הן:

• הטופולוגיה הנורמית, הנוצרת על ידי הנורמה האופרטורית.
• הטופולוגיה החלשה של מרחבי בנך, $\sigma (B(H),B(H)^{\star })$ - הטופולוגיה החלשה ביותר על $B(H)$ בה כל איברי $B(H)^{\star }$ רציפים.
• טופולוגיית מק'קיי (Mackay) - הטופולוגיה הקמורה מקומית החזקה ביותר על $B(H)$ כך שהמרחב הדואלי נשמר. כלומר, הטופולוגיה החזקה ביותר אשר אינה הופכת אופרטורים ליניאריים שלא היו רציפים בטופולוגיה הנורמית לרציפים. היא יותר חלשה מהטופולוגיה הנורמית, היחס בינה לטופולוגיה החלשה כוכב אינו חד משמעי והיא חזקה יותר משאר הטופולוגיות ברשימה.
• הטופולוגיה האולטרה-חזקה-כוכב היא הטופולוגיה החלשה ביותר המכילה את הטופולוגיה האולטרה-חזקה בה פעולת האינבולוציה נותרת רציפה.
• הטופולוגיה האולטרה-חזקה היא הטופולוגיה החלשה ביותר בה כל הסמי-נורמות $p_{w}(x)=<w,x^{\star }x>^{1/2}$ רציפות.
• הטופולוגיה האולטרה-חלשה, או הטופולוגיה החלשה כוכב, מוגדרת להיות הטופולוגיה החלשה ביותר בה כל הסמינורמות מהצורה $|<w,x>|$ עבור w בקדם-דואלי של B(H).
• הטופולוגיה החזקה כוכב מוגדרת על ידי הסמינורמות $\|x^{\star }(h)\|$ ו-$\|x(h)\|$ עבור $h\in H$.
• הטופולוגיה האופרטורית החזקה (SOT) והחלשה (WOT) כפי שהוגדרו למעלה.

בספרות השם 'הטופולוגיה החלשה' משמש לתיאור הטופולוגיה החלשה, האופרטורית החלשה והאולטרה-חלשה אף על פי שאלו טופולוגיות שונות.

ראו גם

• טופולוגיה
• מרחב הילברט
• אופרטור חסום

לקריאה נוספת

• Functional analysis, by Reed and Simon, ISBN 0-12-585050-6
• Theory of Operator Algebras I, by M. Takesaki (especially chapter II.2) ISBN 3-540-42248-X