טופולוגיית זריצקי

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

במתמטיקה, טופולוגיית זריסקי היא טופולוגיה המוגדרת על המרחב האפיני, כך שהיריעות האלגבריות הן קבוצות סגורות. הכלים הטופולוגיים שטופולוגיית זריצקי מזריקה לחקר הפולינומים, הופכת אותה לטופולוגיה הסטנדרטית בגאומטריה אלגברית ובתחומים הנושקים לה, כמו חבורות אלגבריות.

הגדרה ותכונות יסודיות

טופולוגיית זריסקי מוגדרת על מרחב אפיני מממד סופי $\ V = F^n$, כאשר F שדה כלשהו. יריעות האפסים $\ \{x \in V : f(x)=0\}$ עבור הפולינומים $\ f \in F[x_1,\dots,x_n]$ מהוות בסיס של קבוצות סגורות לטופולוגיה; לחלופין, הקבוצות $\ U_f = \{x \in V : f(x)\neq 0\}$ מהוות בסיס לטופולוגיה (וזהו אכן בסיס, משום ש- $\ U_f \cap U_g = U_{fg}$). מכיוון שחוג הפולינומים נותרי, הקבוצות הסגורות הן קבוצות מהצורה $\ \{x : f_1(x)=f_2(x)=\cdots=f_m(x)=0\}$ עבור מספר סופי של פולינומים $\ f_1,\cdots,f_m$. מסיבה זו, כל קבוצה סגורה בטופולוגיית זריצקי היא קומפקטית.

טופולוגיית זריצקי היא הטופולוגיה הקטנה ביותר שעבורה כל הפונקציות הפולינומיות $\ f : F^n \rightarrow F$ הן רציפות, ביחס לטופולוגיה הקו-סופית על F. אכן, הטופולוגיה הקו-סופית היא טופולוגיית זריצקי של F עצמו.

טופולוגיית זריצקי של מרחב מכפלה $\ V_1 \times V_2$ היא טופולוגיית המכפלה של שני המרחבים. תכונה זו מאפשרת להכליל את האמור לעיל - כל העתקה פולינומית בין מרחבים וקטוריים היא רציפה בטופולוגיית זריצקי.

תכונות

תהי $A = k[x_1,...,x_n]$ אלגברת הפולינומים מעל שדה סגור אלגברית k, ויהי $I \subset k[x_1,...,k_n]$ אידאל כלשהו. נגדיר

$\mathcal{V}(I) = \left\{ x \in k^n | \forall f \in I : f(x) = 0 \right\}$

אזי:

1. $\mathcal{V}(0) = k^n \ , \ \mathcal{V}(A) = \emptyset$.
2. כל הקבוצות מהצורה $\mathcal{V}(I)$ הן קבוצות סגורות בטופולוגיית זריצקי.
3. "הופך סדר הכלה": $I_2 \subset I_1 \Rightarrow \mathcal{V}(I_2) \supset \mathcal{V}(I_1)$.
4. $\mathcal{V}(I_1 I_2) = \mathcal{V}(I_1 \cap I_2) = \mathcal{V}(I_1) \cup \mathcal{V}(I_2)$.
5. $\mathcal{V}\left( \sum_{\lambda} I_\lambda \right) = \bigcap_{\lambda} \mathcal{V}(I_\lambda)$.
6. כל נקודה $a \in k^n$ היא קבוצה סגורה (היא מאפסת את האידאל המקסימלי שנוצר על ידי $( x_1 - a_1 , ... , x_n - a_n )$ , ראו משפט האפסים של הילברט).

נגדיר לכל $H \subset k^n$ את

$\mathcal{I}(H) = \left\{ f \in A | \forall x \in H : f(x) = 0 \right\} = \left\{ f \in A | \quad f|_H = 0 \right\}$

זהו אידאל ב-A. אזי:

1. זהו אידאל רדיקלי: $\sqrt{ \mathcal{I}(H) } = \mathcal{I}(H)$.
2. משפט האפסים של הילברט:
   1. $\mathcal{V}(\mathcal{I}(H)) = \overline{H}$ (הסגור של H).
   2. לכל אידאל $I \subset A$ מתקיים $\mathcal{I}(\mathcal{V}(I)) = \sqrt{I}$.
3. "הופך סדר הכלה": $H_1 \subset H_2 \Rightarrow \mathcal{I}(H_1) \supset \mathcal{I}(H_2)$
4. $\mathcal{I}(\mathcal{V}(I_2)) \subset \mathcal{I}(\mathcal{V}(I_1)) \iff \sqrt{I_2} \subset \sqrt{ I_1 } \iff \mathcal{V}(I_2) \supset \mathcal{V}(I_1)$.
5. $\mathcal{I}(\mathcal{V}(I_2)) = \mathcal{I}(\mathcal{V}(I_1)) \iff \sqrt{I_2} = \sqrt{ I_1 } \iff \mathcal{V}(I_2) = \mathcal{V}(I_1)$.

מתכונות אלה מסיקים שיש התאמה חד-חד-ערכית ועל בין הקבוצות הסגורות של $k^n$ לבין האידאלים הרדיקליים של $A = k[x_1,...,x_n]$. ניתן להכליל זאת ל-k-אלגברה כללית A כאשר את $k^n$ מחליפה $\mathrm{Max}(A)$ שהיא קבוצת האידאלים המקסימליים של A. במקרה ש-A היא אלגברת הפולינומים $k[x_1,...,x_n]$ ניתן להראות באמצעות משפט האפסים של הילברט (בגרסתו החלשה) ש-$\mathrm{Max}\left( k[x_1,...,x_n] \right) \cong k^n$.

הכללה

מהאמור לעיל, $\mathrm{Max}\left( k[x_1,...,x_n] \right) \cong k^n$. במקרה הזה, ניתן לראות שההתאמה בין אידאל מקסימלי ל"נקודה" במרחב האפיני ניתנת על ידי

$\vec{a}=(a_1 , ... , a_n ) \longleftrightarrow ( x_1 - a_1 , ... , x_n - a_n )$

כאשר הסוגריים באגף ימין מסמלים את האידאל הנוצר על ידי הפונקציות הללו. למעשה,

$\mathcal{V} \left( x_1 - a_1 , ... , x_n - a_n \right) = (a_1 , ... , a_n )$.

כעת, יהי I אידאל בחוג $k[x]$, אזי $a \in \mathcal{V}(I)$ אם ורק אם לכל $f \in I$ מתקיים ש-$f(a)=0$, כלומר: לכל $f \in I$ מתקיים $(x-a)|f(x)$, כלומר: האידאל הנוצר על ידי f מוכל באידאל המקסימלי הנוצר על ידי $(x-a)$. נכליל זאת: $x \in \mathcal{V}(I) \iff I \subset M_x$ כאשר $M_x$ הוא האידאל המקסימלי המתאים ל-x.

באמעות הכללה זו אפשר להגדיר עבור k-אלגברה A טופולוגיית זריצקי לא רק על $\mathrm{Max}(A)$ אלא גם על $\mathrm{Spec}(A)$ - אוסף האידאליים הראשוניים של A. ההכללה נעשית באמצעות ההגדרה הבאה:

יהי $I$ אידאל ב-A, אזי אידאל ראשוני P שייך ל-$\mathcal{V}(I)$ אם ורק אם $I \subset P$,

ואז מגדירים את הקבוצות מהצורה $\mathcal{V}(I)$ להיות הקבוצות הסגורות ב-$\mathrm{Spec}(A)$. הכללה זו מובילה למושג הסכמה.

ראו גם

• גאומטריה אלגברית
• יריעה אלגברית
• משפט האפסים של הילברט

לקריאה נוספת

• T.A. Springer, Linear Algebraic Groups, chapter 1