טור חזקות

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

טוּר חֲזָקוֹת הוא טור הבנוי כסכום של חזקות מ-0 עד אינסוף של נעלם. טורי חזקות יכולים לתאר כל פונקציה אנליטית ומשמשים באנליזה מתמטית, לחישוב ערכן של פונקציות אנליטיות, בגלל הפשטות שבחישוב כל אחד מאברי הטור הדורשת אך ורק שימוש בפעולות אריתמטיות רגילות.

הגדרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

טור חזקות הוא טור פונקציות מהצורה \ f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-c)^n כאשר \ a_n היא סדרה של מקדמים (לרוב אלו מספרים ממשיים או מרוכבים), ו-\ c היא הנקודה שסביבה מפותח הטור.

רדיוס התכנסות[עריכת קוד מקור | עריכה]

תכונה חשובה של טורי חזקות במספרים ממשיים או מרוכבים המבדילה אותן מטורי פונקציות אחרים היא קיום רדיוס התכנסות לטור חזקות.

אם \ f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-c)^n הוא טור חזקות, אז קיים \ 0\le r\le \infty כך שלכל \ |x-c|<r הטור מתכנס בהחלט, ולכל תת-קבוצה קומפקטית של \ \left\{|x-c|<r\right\} הטור מתכנס במידה שווה. כאשר \ r=\infty הטור מתכנס נקודתית עבור כל מספר, מתכנס במידה שווה על כל המרחב אם ורק אם הטור הוא פולינום. אחרת, הטור מתכנס במידה שווה רק על קבוצות חסומות בו.

על המעגל, או שתי הנקודות במקרה הממשי, \ |x-c|=r לא ניתן בוודאות לומר האם הטור מתכנס או מתבדר (קיימות דוגמאות לכאן ולכאן).

רדיוס ההתכנסות של טור חזקות נתון על ידי נוסחת קושי-הדמר: \ \frac{1}{r}=\limsup_{n\rarr\infty} \sqrt[n]{|a_n|} (אם הגבול הוא 0, הטור מתכנס תמיד). נוסחה זו תמיד מניבה את הרדיוס המבוקש, אך לעתים קשה לחשב אותה. הנוסחה (דאלמבר) \ r=\lim_{n\rarr\infty}\left|\frac{a_{n}}{a_{n+1}}\right| נכונה כאשר הגבול קיים (סופי או אינסופי), ולעתים היא קלה יותר לחישוב.

פעולות על טורי חזקות[עריכת קוד מקור | עריכה]

חיבור וחיסור[עריכת קוד מקור | עריכה]

סכום שני טורי חזקות הוא טור החזקות שמקדמיו הם סכום המקדמים של הטורים המחוברים, בדומה לטורי פונקציות רגילים:

\sum_{i=0}^\infty a_i x^i + \sum_{i=0}^\infty b_i x^i = \sum_{i=0}^\infty (a_i + b_i ) x^i
\sum_{i=0}^\infty a_i x^i - \sum_{i=0}^\infty b_i x^i = \sum_{i=0}^\infty (a_i - b_i ) x^i

מכפלה[עריכת קוד מקור | עריכה]

כפל טור חזקות בקבוע הוא טור החזקות שמקדמיו הם מכפלת הקבוע בטור החזקות המוכפל:

\ c \cdot \sum_{i=0}^\infty a_i x^i = \sum_{i=0}^\infty c \cdot a_i x^i

מכפלת שני טורים:

\left(\sum_{n=0}^\infty a_n (x-c)^n\right)\left(\sum_{n=0}^\infty b_n (x-c)^n\right) 
 = \sum_{i=0}^\infty \sum_{j=0}^\infty  a_i b_j (x-c)^{i+j}
 = \sum_{n=0}^\infty \left(\sum_{i=0}^n a_i b_{n-i}\right) (x-c)^n.

גזירה ואינטגרציה[עריכת קוד מקור | עריכה]

בתוך תחום ההתכנסות ניתן לגזור את טורי החזקות איבר-איבר, וכן גם לבצע עליהם אינטגרציה איבר-איבר:


\left( \sum_{i=0}^\infty a_i \left( x-c \right)^i \right) ^\prime (x) = \sum_{i=1}^\infty a_i i \left( x-c \right)^{i-1}

\int \sum_{i=0}^\infty a_i \left( x-c \right)^i \,dx = \sum_{i=0}^\infty \frac{a_i \left( x-c \right)^{i+1}} {i+1} + C

שימושים[עריכת קוד מקור | עריכה]

השימוש הנפוץ של טורי חזקות הוא לתיאור של פונקציות אנליטיות. אם פונקציה \ f(x) היא אנליטית בנקודה \ c, אז מקדמי טור החזקות סביב \ c שמתאר את הפונקציה בסביבת \ c הם \ a_n=\frac{f^{(n)}(c)}{n!}. כלומר, טור החזקות המתאר את הפונקציה הוא טור טיילור שלה באותה נקודה. ניתן להראות שכל תיאור של פונקציה באמצעות טור חזקות יהיה טור טיילור.

במישור המרוכב, רדיוס ההתכנסות של טור חזקות שמתאר פונקציה הולומורפית סביב נקודה מסוימת, הוא רדיוס המעגל המקסימלי סביב אותה נקודה, שלא מכיל אף נקודה סינגולרית.

ניתן להכליל את מושג טורי החזקות כדי לתאר פונקציות שאינן אנליטיות בנקודה, אך אנליטיות בסביבתה, על ידי טורי לורן.

טורי חזקות פורמליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

באלגברה מופשטת ובקומבינטוריקה, משתמשים בטורי חזקות פורמליים ככלי חישובי, כאשר בתחומים אלו אין עניין של התכנסות טורי החזקות, והם מוגדרים רק בשביל האריתמטיקה המיוחדת שלהם. בקומבינטוריקה הטורים מכונים פונקציות יוצרות. הפונקציות היוצרות משמשות כמעט רק לספירת עצמים, על ידי מקדמי החזקות המתאימות, ולכן בדרך כלל אין חשיבות להתכנסות הטורים. כך לדוגמה, טור החזקות \sum_{i=1}^\infty n! x^n שמתבדר עבור כל מספר ששונה מאפס הוא פונקציה יוצרת לגיטימית.

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

הפונקציה האקספוננציאלית ניתנת להצגה כטור חזקות: \ e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}.

ניתן להראות שהתכונה הבסיסית של הפונקציה- העברת חיבור לכפל, נובעת ישירות מאופן הפעולה של הכפל על טורים ומהבינום של ניוטון. גם את הנוסחה \  \frac{d}{dx} e^{ax} = a \cdot e^{ax} אפשר לקבל ישירות מאופן הפעולה של הנגזרת על טורי החזקות. תכונות אלו ניתן להרחיב גם לחוגים ולאלגבראות בנך באופן כללי, אם כי התכונה הראשונה תלויה בקומוטטיביות של המכפלה, ולא מתקיימת באופן כללי.