טור פורייה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
המחשת טור פורייה
קירוב גל ריבועי (פונקציית הביסייד) באמצעות סכום של סינוסים. ככל שמוספים יותר סינוסים לסכום, כך הפונקציה המתקבלת קרובה יותר לגל המרובע המדויק.

טור פורייה הוא טור (סופי או אינסופי) של פונקציות מחזוריות, שמטרתו לקרב פונקציה נתונה. שיטה זו פותחה על ידי ז'אן-בטיסט ז'וזף פורייה. הרכיבים בקירוב, בדרך כלל הפונקציות הטריגונומטריות - סינוס וקוסינוס, נקראים לעתים גם "הרמוניות" של הפונקציה.

ניתן להוכיח שאפשר להציג כל פונקציה חלקה מספיק כסכום (ליתר דיוק, טור) של הרמוניות. המרה כזו נקראת פירוק פורייה, והסכום שנוצר נקרא טור פורייה. המרה זו היא שימושית ביותר בתחומים מסוימים של המתמטיקה, הפיזיקה וההנדסה.

במתמטיקה, לעתים קרובות נוח להציג פונקציה מסוימת בתור סכום או טור של פונקציות פשוטות יותר. בצורה זו ניתן להעמיק את ההבנה של התנהגות הפונקציה על ידי הבנת התנהגות אברי הסכום (הטור). טור פורייה הוא סוג של טור שכזה, שבו מוצגת פונקציה כסכום (טור) של פונקציות מחזוריות.

בפיזיקה ובהנדסה, בעיקר בתחומים הנוגעים לגלים, נוח להציג את המידע בצורת סכום (טור) של הרמוניות. גם יישומי מחשב העוסקים בעיבוד תמונה וקול משתמשים רבות בטורי פורייה לצורך ניתוח ודחיסה של המידע.

בניסוח פורמלי יותר, טור פורייה הוא הצגה של פונקציה שריבועה הוא אינטגרבילי-לבג בקטע סופי כטור אינסופי של פונקציות הרמוניות וטריגונומטריות. זוהי בעצם גרסה בדידה להתמרת פורייה (או טרנספורם פורייה).

מבוא ורקע כללי[עריכת קוד מקור | עריכה]

טור פורייה הוא תוצאה פרטית של התורה העוסקת בבסיסים אורתונורמליים על מרחב הילברט.

מבחינה אלגברית, מדובר בהצגת איבר במרחב וקטורי על ידי צירוף לינארי של איברי בסיס אורתונורמלי של המרחב. כלומר, עבור בסיס אורתונורמלי \left\{\hat{e}\right\} האיבר \vec{x} מוצג על ידי

\ \vec{x} = \sum_{\alpha\isin\Lambda}{a_\alpha \hat{e_\alpha}}

כיוון שהבסיס הוא אורתונורמלי, את המקדמים אפשר לחשב באמצעות הטלה:

\ a_n = \lang \vec{x} , \hat{e_n} \rang

ומובטח שהמקדמים יתאפסו עבור כל איברי הבסיס פרט לקבוצה בת-מנייה. לכן אפשר לרשום את ההצגה של כל איבר במרחב זה בצורה

\ \vec{x} = \sum_{n=1}^{\infty}{ \lang \vec{x} , \hat{e_n} \rang \hat{e_n}}

טור פורייה הוא מקרה פרטי של בנייה זו. מאחר שמדובר בטור אינסופי, יש לטפל בבעיות התכנסות ולהראות שהטור אכן מתכנס אל האיבר שאותו מציגים. בסעיפים הבאים נעסוק בנושאים הקשורים ישירות לטור פורייה הטריגונומטרי. זהו טור פורייה הנפוץ ביותר ולעתים קרובות כאשר אומרים "טור פורייה" סתם, מתכוונים אליו.

הגדרה פורמלית[עריכת קוד מקור | עריכה]

תהי \ f פונקציה, \ f \in L^2[-\pi,\pi]. כאשר \  L^2[-\pi,\pi] הוא אוסף הפונקציות המדידות שריבוען אינטגרבילי-לבג בקטע. אזי את \ f אפשר להציג כפיתוח לטור אינסופי באופן הבא:

f(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} F_n \,e^{inx}

כאשר מקדמי פורייה, \ F_n, נתונים על ידי

F_n =\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\,e^{-inx} \, dx

(נוסחה זאת נובעת משיקולי אורתוגונליות, ראו להלן). כל איבר בטור זה נקרא "אופן תנודה" , Fourier mode או "הרמוניה". על ידי שימוש בנוסחת אוילר e^{inx}=\cos(nx)+i\sin(nx) \,\! אפשר להציג את הטור כצירוף לינארי של סינוסים וקוסינוסים באופן הבא:

f(x) = \frac{1}{2}a_0 + \sum_{n=1}^\infty\left[a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\right]

כאשר המקדמים נתונים על ידי:

a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\cos(nx)\,dx

b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\sin(nx)\,dx

את הקשר בין מקדמים אלה למקדמים \ F_n ניתן לחלץ בקלות והוא F_n = (a_n - i b_n) / 2 \,\! כאשר F_n = F_{-n}^*. באמצעות החלפת משתנים ניתן להכליל את הפיתוח הזה לכל קטע סופי שהוא.

דוגמה[עריכת קוד מקור | עריכה]

תהי \ f הפונקציה הלינארית \ f(x)=\frac{x}{\pi} בקטע \ [-\pi,\pi]. כדי שטור פורייה שלה יהיה תקף גם מחוץ לקטע זה, נצטרך להרחיב אותה באופן מחזורי. הפונקציה המורחבת נקראת גם "גל שן-מסור". נשים לב, שהרחבה זו איננה פונקציה רציפה, אך הפיתוח לטור פורייה עדיין קיים.

גרף של פונקציית גל שן-משור

נחשב את מקדמי פוריה שלה בהצגה הטריגונומטרית (נוח להשתמש בהצגה זו עבור פונקציות זוגיות או אי-זוגיות כפי שנראה להלן).

מאחר ש-\ f(x) היא פונקציה אי-זוגית, ו\cos(nx) הן פונקציות זוגיות לכל n, המכפלות הן פונקציות אי זוגיות. כתוצאה מכך כל המקדמים של הקוסינוסים מתאפסים:


\begin{align}
a_0 &= \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \frac{x}{\pi} dx = 0 \\
a_n &= \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)dx = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\frac{x}{\pi} \cos(nx)dx = 0
\end{align}

כעת, נחשב את מקדמי הסינוסים:


\begin{align}
b_n &= \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)dx = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \frac{x}{\pi} \sin(nx)dx \\
    &= \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} \frac{x\sin(nx)}{\pi} dx= \frac{2}{\pi}\left( 
\left[-\frac{x\cos(nx)}{n\pi}\right]_0^{\pi}+\left[\frac{\sin(nx)}{n^2\pi}\right]_0^{\pi} 
\right) \\
    &= \frac{2}{\pi}\frac{(-1)^{n+1}}{n}
\end{align}

בסך הכל, טור פורייה של \ f(x)=\frac{x}{\pi} בקטע הוא


\begin{align}
f(x) &= \frac{x}{\pi}=\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)) \\
     &= \frac{2}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin(nx), \quad \forall x\in (-\pi,\pi)
\end{align}

חישוב סכומים חלקיים של איברי הטור ייתן קירוב של הפונקציה, שיהיה טוב יותר ככל שניקח יותר איברים, כמודגם בתמונה.

גרף המכיל סדרת קירובים לפונקציית גל שן-משור באמצעות סכומים חלקיים של טור פורייה.

בטור זה אפשר להשתמש כדי לחשב את הערך של פונקציית זטא של רימן עבור \ s=2 בעזרת שוויון פרסבל המאפשר להמיר את בעיית חישוב הטור לבעיה של חישוב אינטגרלים (אותה אפשר לחשב מפורשות).

תאוריה[עריכת קוד מקור | עריכה]

המרחב L^2[עריכת קוד מקור | עריכה]

המרחב L^2[-\pi,\pi] כולל את הפונקציות שריבוען אינטגרבילי-לבג בקטע, כלומר, עבור \ f \in L^2[-\pi,\pi], ‏ f פונקציה מדידה ומתקיים \ \int_{-\pi}^{\pi}{|f(t)|^2 dt} < \infty. מרחב זה הוא מרחב הילברט עם המכפלה הפנימית \ \lang f , g \rang = \int_{-\pi}^{\pi}{f(t) \bar{g}(t) dt}, כאשר \ \bar{g}(t) הוא הצמוד המרוכב של \ g(t).

במרחב הילברט זה – על אף שהוא מממד אינסופי – קיימת מערכת אורתונורמלית שלמה, הפורשת קבוצה צפופה במרחב. ניתן לראות בכך הכללה של מושג הבסיס (ובפרט בסיס אורתונורמלי) של מרחב וקטורי מממד סופי (לעתים קוראים גם למערכת אורתונורמלית שלמה אינסופית בשם "בסיס"). המתמטיקאי ז'וזף פורייה וממשיכיו הוכיחו שהפונקציות ההרמוניות יוצרות מערכת אורתונורמלית שלמה.

טור פורייה הוא למעשה דרך להציג איבר במרחב \ L^2 כצירוף לינארי (בדרך כלל אינסופי) של איברי הבסיס הזה, כאשר המקדמים של הצירוף הלינארי נקראים מקדמי פורייה. ניתן לעשות זאת גם עם בסיסים אורתונורמליים אחרים, אבל ביישומים רבים מתגלה השימוש בטורי פורייה כיעיל במיוחד.

אורתונורמליות[עריכת קוד מקור | עריכה]

בסיס ההרמוניות \ \left\{ \frac{e^{inx}}{\sqrt{2 \pi}} \right\}_{n \in \mathbb{Z}} הוא בסיס אורתונורמלי, כי

 \lang \frac{e^{inx}}{\sqrt{2 \pi}}  , \frac{e^{imx}}{\sqrt{2 \pi}}  \rang =  \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi e^{inx}e^{-imx}\,dx = \delta_{n,m}

כאשר \ \delta_{n,m} היא הדלתא של קרונקר.

מכאן נובעות הנוסחאות לחישוב המקדמים:

\  \frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi}{f(t) e^{-int} dt} = \frac{1}{2 \pi} \lang f(t) , e^{int} \rang = 
\frac{1}{2 \pi} \lang \sum_{k=-\infty}^{\infty}{F_k e^{ikt}} , e^{int} \rang =
 =
 \sum_{k=-\infty}^{\infty}{F_k \frac{1}{2 \pi} \lang e^{ikt} , e^{int} \rang } = \sum_{k=-\infty}^{\infty}{F_k \delta_{n,k}} = F_n

באופן דומה גם בסיס הסינוסים והקוסינוסים הוא אורתונורמלי:

\ \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} {\cos(nt) \cos(mt) \ dt} = \delta_{m,n}
\ \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} {\sin(nt) \cos(mt) \ dt} = 0 \ \ \ \
\ \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} {\sin(nt) \sin(mt) \ dt} = \delta_{m,n}

אפשר להשתכנע בכך בבדיקה ישירה או מכך שמקבלים אותו על ידי התמרה אוניטרית מבסיס ההרמוניות.

התכנסות[עריכת קוד מקור | עריכה]

כאשר עוסקים בהתכנסות של טור פורייה יש להבדיל בין התכנסות בנורמה של הטור, לבין התכנסות נקודתית.

ההתכנסות בנורמה פירושה שהטור מתכנס במרחב L^2 על פי הנורמה המוגדרת בו. כלומר, מתקיים:

\lim_{N\rightarrow\infty}\int_{-\pi}^\pi\left|f(x)-\sum_{n=-N}^{N}
F_n\,e^{inx}\right|^2\,dx=0

במילים פשוטות: כאשר מגדילים את מספר האיברים בטור החלקי של f לאינסוף, הנורמה של ההפרש בין הפיתוח החלקי לבין f (שהיא האינטגרל של פונקציית ריבוע ההפרש) שואפת לאפס. תכונה זו מתקיימת עבור כל טור פורייה, בהיותו הצגת איבר ב-\ L^2 על פי בסיס אורתונורמלי.

התכנסות בנורמה לא מחייבת התכנסות של הטור לערך של f בכל נקודה בקטע - ההתכנסות הנקודתית של טור פורייה היא תכונה מורכבת יותר, ומחקר רב עוסק במציאת תנאים שבהם היא תתקיים במסגרת האנליזה ההרמונית.

בחישוב של טור פורייה לפונקציה נתונה f, יש שני שלבים, הפוכים זה לזה. בשלב ראשון מחשבים, מתוך ההנחה שקיים שוויון מהצורה \ f(x)=\sum_{n}(a_n\sin(nx)+b_n\cos(nx)), את המקדמים המספריים \ a_n,b_n. חישוב כזה ניתן לערוך לכל פונקציה השייכת למרחב הפונקציות \ L^2. לאחר מכן, מבקשים להציג את הפונקציה באמצעות המקדמים שהתקבלו, כלומר, דורשים כי לכל x, הטור באגף ימין יתכנס לערכה של הפונקציה בנקודה x.

כאשר פיתח פורייה את התאוריה שלו, ב-1807, לא היו בידיו כלים שיענו על הצורך בהתכנסות נקודתית, וזו הסיבה העיקרית לכך שעבודתו נדחתה בתחילה על ידי מתמטיקאים חשובים בני זמנו. בשאלה אילו פונקציות צריכות להיחשב לפונקציות ממשיות[דרושה הבהרה] היה ערפול מסוים במחצית הראשונה של המאה ה-19, ועבודתו של פורייה רק הקשתה על הבהרת התמונה. ב- 1913 ניסח האנליטיקאי הרוסי ניקולאי לוזין את ההשערה, שלפיה טור פורייה של פונקציה רציפה יתכנס נקודתית בכל מקום - אלא שב-1926 מצא מתמטיקאי רוסי אחר, אנדריי קולמוגורוב, דוגמה נגדית שהפריכה השערה זו.

את הפתרון לבעיה זו סיפק המתמטיקאי השבדי לנרט קרלסון ב-1966, כאשר הוכיח שלכל פונקציה במרחב \ L^2, ובפרט, לכל פונקציה רציפה, יש טור פורייה המתכנס אליה נקודתית פרט לקבוצה בת-מניה של נקודות לכל היותר (כמעט בכל מקום). על עבודתו זו, שנחשבה לפריצת דרך באנליזה הרמונית, ועל עבודות רבות אחרות, זכה קרלסון בפרס אבל לשנת 2006.

תופעת גיבס[עריכת קוד מקור | עריכה]

תופעת גיבס הינה תופעה שבה טור פורייה של פונקציה שאינה רציפה בנקודה, מתכנס בנקודה זו לממוצע הגבולות מימין ומשמאל (\ (f(x_-) + f(x_+))/2). יתרה מכך, סביב נקודת אי-רציפות מתקבלות תנודות חזקות; ככל שמוסיפים יותר איברים לקירוב, מצטמצמת הסביבה בה מופיעות התנודות, אך גובהן לא נחלש.

תכונות[עריכת קוד מקור | עריכה]

בסעיף זה נסמן:

\ f(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}{F_n e^{inx}}\;; \quad g(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}{G_n e^{inx}}\;; \quad h(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}{H_n e^{inx}}

כאשר אנו מניחים ש-f,g,h הן פונקציות המוגדרות על כל הישר באמצעות המשכה מחזורית של הגדרתן בקטע \ [-\pi,\pi].

לינאריות[עריכת קוד מקור | עריכה]

אם \ h(x) = \alpha f(x) + \beta g(x), אזי \ H_n = \alpha F_n + \beta G_n.

זהויות פלנשרל ופרסבל[עריכת קוד מקור | עריכה]

הזהויות הבאות מראות את האוניטריות של הפירוק לטור פורייה. כלומר, פעולה זו שומרת על נורמה ומכפלה פנימית.

זהות פלנשרל:

\sum_{n=-\infty}^\infty F_nG^*_n = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x)g^*(x)\,dx

זהות פרסבל (על שם מארק אנטואן פרסבל):

\sum_{n=-\infty}^\infty |F_n|^2 = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi |f(x)|^2 dx \,

ובבסיס הטריגונומטרי הממשי

\frac{a_0^2}{4} + \frac{1}{2} \sum_{n=1}^\infty \left( a_n^2 + b_n^2 \right) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x)^2 dx

.

משפטים אלה אפשר להוכיח באמצעות אורתוגונליות.

תכונת ההזזה[עריכת קוד מקור | עריכה]

אם g(x)=f(x-y) \,\!, אזי G_n = e^{-iny}F_n \,\!.

תכונת הקונבולוציה[עריכת קוד מקור | עריכה]

אם h היא קונבולוציה ציקלית של f ו g, כלומר:

h(t)=\int_{-\pi}^\pi f(t')g(t-t')\,dt'

כאשר g היא מחזורית עם מחזור 2\pi, אזי טור פורייה של h מקיים:

H_n=2\pi\,F_nG_n \,

באופן הפוך, אם המקדמים Hn הם קונבולוציה של Fn ו Gn, כלומר:

H_k=\sum_{n=-\infty}^\infty F_n G_{k-n}

אזי בהכרח

\ h(t)=f(t)g(t)\,

תכונות אלה מוכחות באמצעות אורתוגונליות.

טורי פורייה בקטע כלשהו[עריכת קוד מקור | עריכה]

נניח שנתונה לנו פונקציה g: [a,a+\tau] \to \mathbb{R} (אינטגרבילית בריבוע בקטע זה) ואנו ממשיכים אותה מחזורית בכל הישר הממשי. אזי טור פורייה שלה מוגדר על ידי

g(x)=\sum_{n=-\infty}^\infty G(n) \cdot e^{i \frac{2\pi}{\tau}n x}

את מקדמי פורייה ניתן לחשב באמצעות הנוסחה

G(n) = \frac{1}{\tau}\int_a^{a+\tau} g(x)\cdot e^{-i \frac{2\pi}{\tau}n x}\, dx

במונחי סינוסים וקוסינוסים הביטויים יראו כך:‏[1]

\ g(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos \left( \frac{2 \pi}{\tau}nx \right) + b_n \sin \left( \frac{2 \pi}{\tau}nx \right)
\ a_n = \frac{2}{\tau} \int_{a}^{a+\tau} g(x) \cos \left( \frac{2 \pi}{\tau}nx \right) dx
\ b_n = \frac{2}{\tau} \int_{a}^{a+\tau} g(x) \sin \left( \frac{2 \pi}{\tau}nx \right) dx

שימושים[עריכת קוד מקור | עריכה]

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. ^ Fourier Series, ב-MathWorld.
    הביטויים מתלכדים עם הזיהוי \tau = 2 L.