טור פורייה

קירוב גל ריבועי (פונקציית הביסייד) באמצעות סכום של סינוסים. ככל שמוספים יותר סינוסים לסכום, כך הפונקציה המתקבלת קרובה יותר לגל המרובע המדויק.

טור פורייה הוא סכום (טור) של פונקציות מחזוריות, בדרך כלל הפונקציות הטריגונומטריות - סינוס וקוסינוס, הנקראות לעתים גם הרמוניות. מספר האיברים בסכום יכול להיות סופי או אינסופי. שיטה זו פותחה על ידי ז'אן-בטיסט ז'וזף פורייה.

ניתן להוכיח שאפשר להציג כל פונקציה חלקה מספיק כסכום (ליתר דיוק, טור) של הרמוניות. המרה כזו נקראת פירוק פורייה, והסכום שנוצר נקרא טור פורייה. המרה זו היא שימושית ביותר בתחומים מסוימים של המתמטיקה, הפיזיקה וההנדסה.

במתמטיקה, לעתים קרובות נוח להציג פונקציה מסוימת בתור סכום או טור של פונקציות פשוטות יותר. בצורה זו ניתן להעמיק את ההבנה של התנהגות הפונקציה על ידי הבנת התנהגות אברי הסכום (הטור). טור פורייה הוא סוג של טור שכזה, שבו מוצגת פונקציה כסכום (טור) של פונקציות מחזוריות.

בפיזיקה ובהנדסה, בעיקר בתחומים הנוגעים לגלים, נוח להציג את המידע בצורת סכום (טור) של הרמוניות. גם יישומי מחשב העוסקים בעיבוד תמונה וקול משתמשים רבות בטורי פורייה לצורך ניתוח ודחיסה של המידע.

בניסוח פורמלי יותר, טור פורייה הוא הצגה של פונקציה אינטגרבילית לבג בריבוע בקטע סופי כטור אינסופי של פונקציות הרמוניות וטריגונומטריות. זוהי בעצם גרסה בדידה להתמרת פורייה (או טרנספורם פורייה). דרישת האינטגרביליות לבג פירושה שהפונקציה אינה מסובכת יתר על המידה.

מבוא ורקע כללי

טור פורייה הוא תוצאה פרטית של התורה העוסקת בבסיסים אורתונורמליים על מרחב הילברט.

באופן אינטואיטיבי, מדובר בהצגת איבר במרחב וקטורי כצירוף לינארי בן מנייה של איברי בסיס אורתונורמלי לאותו מרחב. כלומר, עבור בסיס אורתונורמלי כללי אנו כותבים:

$\ \vec{x} = \sum_{\alpha\isin\Lambda}{a_\alpha \hat{e_\alpha}}$

עבור בסיס אורתונורמלי, את המקדמים אפשר לחשב באמצעות הטלה:

$\ a_n = \lang \vec{x} , \hat{e_n} \rang$

ומובטח שהמקדמים יתאפסו עבור כל איברי הבסיס פרט למספר בן מנייה. ולכן אפשר לרשום את ההצגה של כל איבר במרחב זה בצורה

$\ \vec{x} = \sum_{n=1}^{\infty}{ \lang \vec{x} , \hat{e_n} \rang \hat{e_n}}$

טור פורייה הוא מקרי פרטי של בנייה זו. מאחר שמדובר בטור אינסופי, יש לטפל בבעיות התכנסות ולהראות באמת שהטור מתכנס אל האיבר שאותו מציגים. בסעיפים הבאים נעסוק בנושאים הקשורים ישירות לטור פורייה הטריגונומטרי. זהו טור פורייה הנפוץ ביותר ולעתים קרובות כאשר אומרים "טור פורייה" סתם, מתכוונים אליו.

הגדרה פורמלית

תהי $\ f \in L^2[-\pi,\pi]$. כאשר $\ L^2[-\pi,\pi]$ הוא אוסף הפונקציות המדידות וריבוען אינטגרבילי לבג בקטע. אזי את $\ f$ אפשר להציג כפיתוח לטור אינסופי באופן הבא:

$f(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} F_n \,e^{inx}$

כאשר מקדמי פורייה, $\ F_n$, נתונים על ידי

$F_n =\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\,e^{-inx} \, dx$

(נוסחה זאת ניתן להצדיק משיקולי אורתוגונליות, ראו בהמשך). כל איבר בטור זה נקרא "אופן תנודה" , Fourier mode או "הרמוניה". על ידי שימוש בנוסחת אוילר $e^{inx}=\cos(nx)+i\sin(nx) \,\!$ אפשר להציג את הטור כצירוף לינארי של סינוסים וקוסינוסים באופן הבא:

$f(x) = \frac{1}{2}a_0 + \sum_{n=1}^\infty\left[a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\right]$

כאשר המקדמים נתונים על ידי:

$a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\cos(nx)\,dx$

$b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\sin(nx)\,dx$

את הקשר בין מקדמים אלה למקדמים $\ F_n$ ניתן לחלץ בקלות והוא $F_n = (a_n - i b_n) / 2 \,\!$ כאשר $F_n = F_{-n}^*$. באמצעות החלפת משתנים ניתן להכליל את הפיתוח הזה לכל קטע סופי שהוא.

דוגמה

תהי $\ f$ הפונקציה הלינארית $\ f(x)=x/\pi$ בקטע $\ [-\pi,\pi]$. כדי שטור פורייה שלה יהיה תקף גם מחוץ לקטע זה, נצטרך להמשיך אותה באופן מחזורי. פונקציה זו נקראת גם "גל שן-מסור". נשים לב, שבהמשכה זו הפונקציה איננה רציפה ובכל זאת קיים לה פיתוח לטור פורייה.

גרף של גל שן-משור

נחשב את מקדמי פוריה שלה ומאחר שזו פונקציה אי-זוגית נשתמש בהצגה הטריגונומטרית שלה, כי אז כל המקדמים של הקוסינוסים נופלים ורק הסינוסים נשארים (זאת מאחר שהסינוס היא פונקציה אי-זוגית והקוסינוס היא פונקציה זוגית).

לכן:

$a_0 = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x dx= 0$

$a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)dx= \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x \cos(nx)dx = 0$

כעת, נחשב את מקדמי הסינוסים:

$b_n= \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)dx=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x \sin(nx)dx =$

$=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} x\sin(nx) dx= \frac{2}{\pi}\left( \left[-\frac{x\cos(nx)}{n}\right]_0^{\pi}+\left[\frac{\sin(nx)}{n^2}\right]_0^{\pi} \right)=(-1)^{n+1}\frac{2}{n}$

בסך הכל, טור פורייה של $\ f(x)=x$ הוא

$f(x)=x=a_0 + \sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)) =$

$=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{2}{n} \sin(nx), \quad \forall x\in (-\pi,\pi)$

גרף המכיל סדרת קירובים לפונקציית גל שן-משור באמצעות סכומים חלקיים של טור פורייה.

בטור זה אפשר להשתמש לחשב את הערך של פונקציית זטא של רימן עבור $\ s=2$ בעזרת שוויון פרסבל המאפשר להמיר את בעיית חישוב הטור לבעיה של חישוב אינטגרלים (אותה אפשר לחשב מפורשות).

תאוריה

המרחב $\ L^2$

המרחב $\ L^2$ כולל את הפונקציות האינטגרביליות לבג בריבוע בקטע, כלומר, הפונקציה מדידה ומתקיים $\ \int_{-\pi}^{\pi}{|f(t)|^2 dt} < \infty$. אז מסמנים ש $\ f \in L^2[-\pi,\pi]$. מרחב זה הוא מרחב הילברט עם המכפלה הפנימית הבאה $\ \lang f , g \rang = \int_{-\pi}^{\pi}{f(t) \bar{g}(t) dt}$ כאשר $\ \bar{g}(t)$ הוא הצמוד המרוכב של $\ g(t)$.

גם במרחב הילברט זה - למרות שהוא בעל אינסוף ממדים - קיימת מערכת אורתונורמלית שלמה, הפורשת קבוצה צפופה במרחב. ניתן לראות בכך הכללה של בסיס (ובפרט בסיס אורתונורמלי) הפורש את המרחב עבור מרחב וקטורי מממד סופי (לעתים קוראים גם למערכת אורתונורמלית שלמה אינסופית בשם "בסיס"). המתמטיקאי ז'וזף פורייה וממשיכיו הוכיחו שהפונקציות ההרמוניות היא מערכת אורתונורמלית שלמה.

טור פורייה הוא למעשה דרך להציג איבר במרחב $\ L^2$ כצירוף לינארי (בדרך כלל אינסופי) של איברי הבסיס הזה, כאשר מקדמי הפוריה הם המקדמים של הצירוף הלינארי. ניתן לעשות זאת גם עם בסיסים אורתונורמליים אחרים, אבל ביישומים רבים מתגלה השימוש בטורי פורייה כיעיל במיוחד.

אורתונורמליות

בסיס ההרמוניות $\ \left\{ \frac{e^{inx}}{\sqrt{2 \pi}} \right\}_{n \in \mathbb{Z}}$ הוא בסיס אורתונורמלי שכן

$\lang \frac{e^{inx}}{\sqrt{2 \pi}} , \frac{e^{imx}}{\sqrt{2 \pi}} \rang = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi e^{inx}e^{-imx}\,dx = \delta_{n,m}$

כאשר $\ \delta_{n,m}$ היא הדלתא של קרונקר.

ולכן הנוסחאות לחישוב המקדמים מוצדקות, שכן:

$\ \frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi}{f(t) e^{-int} dt} = \frac{1}{2 \pi} \lang f(t) , e^{int} \rang = \frac{1}{2 \pi} \lang \sum_{k=-\infty}^{\infty}{F_k e^{ikt}} , e^{int} \rang =$

$= \sum_{k=-\infty}^{\infty}{F_k \frac{1}{2 \pi} \lang e^{ikt} , e^{int} \rang } = \sum_{k=-\infty}^{\infty}{F_k \delta_{n,k}} = F_n$

בכך הצדקנו את הנוסחאות לחישוב המקדמים.

באופן דומה גם בסיס הסינוסים והקוסינוסים הוא אורתונורמלי:

$\ \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} {\cos(nt) \cos(mt) \ dt} = \delta_{m,n}$

$\ \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} {\sin(nt) \cos(mt) \ dt} = 0 \ \ \ \$

$\ \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} {\sin(nt) \sin(mt) \ dt} = \delta_{m,n}$

אפשר להשתכנע בכך או בבדיקה ישירה או מכך שמקבלים אותו על ידי טרנספורמציה יוניטרית מבסיס האקספוננטים.

התכנסות בנורמה

כאשר עוסקים בהתכנסות של טור פורייה יש להבדיל בין ההתכנסות בנורמה של הטור, לבין התכנסותו הנקודתית.

ההתכנסות בנורמה פירושה שהטור מתכנס במרחב $\ L^2$ ועל פי הנורמה המוגדרת בו. כלומר, מתקיים:

$\lim_{N\rightarrow\infty}\int_{-\pi}^\pi\left|f(x)-\sum_{n=-N}^{N} F_n\,e^{inx}\right|^2\,dx=0$

במילים פשוטות: האינטגרל בריבוע של פונקציית ההפרש בין הפונקציה אותה מפתחים לפיתוח החלקי שלה שואף לאפס. תכונה זו מתקיימת עבור כל טור פורייה, מה שמובטח מהיות טור פורייה הצגת איבר ב-$\ L^2$ על פי בסיס אורתונורמלי.

תכונה זו שונה מהתכנסות נקודתית של טור, ואכן ההתכנסות הנקודתית של טור פורייה היא תכונה מורכבת יותר, שלא בהכרח מתקיימת, ומחקר רב עוסק במציאת תנאים שבהם היא תתקיים במסגרת האנליזה ההרמונית.

התכנסות נקודתית

בחישוב של טור פורייה לפונקציה נתונה f, יש שני שלבים, הפוכים זה לזה. בשלב ראשון מחשבים, מתוך ההנחה שקיים שוויון מהצורה $\ f(x)=\sum_{n}(a_n\sin(nx)+b_n\cos(nx))$, את המקדמים המספריים $\ a_n,b_n$. חישוב כזה ניתן לערוך לכל פונקציה השייכת למרחב הפונקציות $\ L^2$. לאחר מכן, מבקשים להציג את הפונקציה באמצעות המקדמים שהתקבלו, כלומר, דורשים שהטור באגף ימין יתכנס לכל x, וערכו יהיה שווה לערכה של הפונקציה.

כאשר פיתח ז'אן פורייה את התאוריה שלו, ב-1807, לא היו בידיו כלים שיענו על הצורך בהתכנסות נקודתית, וזו הסיבה העיקרית לכך שעבודתו נדחתה בתחילה על ידי מתמטיקאים חשובים בני זמנו. בשאלה אילו פונקציות צריכות להיחשב לפונקציות ממשיות היה ערפול מסוים במחצית הראשונה של המאה ה-19, ועבודתו של פורייה רק הקשתה על הבהרת התמונה. ב- 1913 ניסח האנליטיקאי הרוסי ניקולאי לוזין את ההשערה, שלפיה טור פורייה של פונקציה רציפה יתכנס נקודתית בכל מקום - אלא שב-1926 מצא מתמטיקאי רוסי אחר, אנדריי קולמוגורוב, דוגמה נגדית להשערה זו.

את הפתרון לחידה זו סיפק המתמטיקאי השבדי לנרט קרלסון ב-1966, כאשר הוכיח שלכל פונקציה במרחב $\ L^2$, ובפרט, לכל פונקציה רציפה, יש טור פורייה המתכנס אליה נקודתית כמעט בכל מקום. על עבודתו זו, שנחשבה לפריצת דרך באנליזה הרמונית, ועל עבודות רבות אחרות, זכה קרלסון בפרס אבל לשנת 2006.

תופעת גיבס

תופעת גיבס הינה תופעה שבה טור פורייה של פונקציה מתכנס בנקודת אי הרציפות של הפונקציה לממוצע הגבולות מימין ומשמאל ( $\ (f(x_-) + f(x_+))/2$ ). יתרה מכך, סביב נקודה זו (של אי-רציפות) הוא מבצע אוסצילציות חזקות שלא נחלשות בגובהן, אלא רק קטנות במרחקן מנקודה זו ככל שמוסיפים יותר איברים לקירוב.

תכונות

בסעיף זה נסמן:

$\ f(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}{F_n e^{inx}} \ ; \quad g(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}{G_n e^{inx}} \ ; \quad h(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}{H_n e^{inx}}$

כאשר אנו מניחים ש f,g,h הן פונקציות המוגדרות על כל הישר באמצעות המשכה מחזורית של הגדרתן בקטע $\ [-\pi,\pi]$.

לינאריות

אם $\ h(x) = \alpha f(x) + \beta g(x)$ אזי $\ H_n = \alpha F_n + \beta G_n$.

זהויות פלנשרל ופרסבל

המשמעות של הזהויות הבאות היא היוניטריות של הפירוק לטור פורייה. כלומר, פעולה זו שומרת על נורמה ומכפלה פנימית.

זהות פלנשרל:

$\sum_{n=-\infty}^\infty F_nG^*_n = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x)g^*(x)\,dx$

זהות פרסבל (על שם מארק אנטואן פרסבל):

$\sum_{n=-\infty}^\infty |F_n|^2 = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi |f(x)|^2 dx \,$

ובבסיס הטריגונומטרי הממשי

$\frac{a_0^2}{4} + \frac{1}{2} \sum_{n=1}^\infty \left( a_n^2 + b_n^2 \right) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x)^2 dx$.

משפטים אלה אפשר להוכיח באמצעות אורתוגונליות.

תכונת ההזזה

אם :$g(x)=f(x-y) \,\!$ אזי $G_n = e^{-iny}F_n \,\!$.

תכונת הקונבולוציה

אם h היא קונבולוציה ציקלית של f ו g, כלומר:

$h(t)=\int_{-\pi}^\pi f(t')g(t-t')\,dt'$

כאשר g היא בעלת מחזור שני-פאי, אזי טור פורייה של h מקיים:

$H_n=2\pi\,F_nG_n \,$

באופן הפוך, אם המקדמים H_n הם קונבולוציה של F_n ו G_n, כלומר:

$H_k=\sum_{n=-\infty}^\infty F_n G_{k-n}$

אזי מסתבר ש

$\ h(t)=f(t)g(t)\,$

תכונות אלה מוכחות באמצעות אורתוגונליות.

טורי פורייה בקטע כלשהו

נניח שנתונה לנו פונקציה $g: [a,a+\tau] \to \mathbb{R}$ (אינטגרבילית בריבוע בקטע זה) ואנו ממשיכים אותה מחזורית בכל הישר הממשי. אזי טור פורייה שלה מוגדר להיות

$g(x)=\sum_{n=-\infty}^\infty G(n) \cdot e^{i 2\pi \frac{n}{\tau} x}$

את מקדמי פורייה ניתן לחשב באמצעות הנוסחה

$G(n) = \frac{1}{\tau}\int_a^{a+\tau} g(x)\cdot e^{-i 2\pi \frac{n}{\tau} x}\, dx$

במונחי סינוסים וקוסינוסים הביטויים יראו כך:‏

$\ g(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos \left( \frac{2 \pi}{\tau}nx \right) + b_n \sin \left( \frac{2 \pi}{\tau}nx \right)$

$\ a_n = \frac{2}{\tau} \int_{a}^{a+\tau} g(x) \cos \left( \frac{2 \pi}{\tau}nx \right) dx$

$\ b_n = \frac{2}{\tau} \int_{a}^{a+\tau} g(x) \sin \left( \frac{2 \pi}{\tau}nx \right) dx$

שימושים

מתמטיקה פתרון משוואות דיפרנציאליות (בעיקר חלקיות) אנליזה הרמונית אנליזה פונקציונלית פיזיקה גלים אופני תנודה עצמיים פתרון משוואת הגלים קרינה אלקטרומגנטית מכניקת הקוונטים פתרון משוואת שרדינגר

מדעי המחשב עיבוד אותות עיבוד אותות קול עיבוד תמונה הנדסה אלקטרוניקה אלקטרומגנטיות רוחב פס

ראו גם

תורת שטורם-ליוביל התמרת פורייה מרחב הילברט

אלגברה לינארית אינטגרל לבג אינטגרל

קישורים חיצוניים

• טור פורייה, באתר MathWorld (באנגלית)