טנזור איינשטיין

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

טנזור איינשטיין הוא טנזור בתורת היחסות הכללית המתאר גודל הקשור לעקמומיות המרחב, ומבוטא על ידי טנזור ריצ'י, סקלר ריצ'י והטנזור המטרי הפסאודו-רימאני. הטנזור מופיע במשוואת השדה של איינשטיין עבור כבידה. הטנזור קרוי על שם הפיזיקאי אלברט איינשטיין.

הגדרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

בפיזיקה וגאומטריה דיפרנציאלית, טנזור איינשטיין \mathbf{G} הוא טנזור מדרגה 2 שמוגדר מעל יריעה פסאודו-רימאנית. בכתיב ללא אינדקסים הוא מוגדר להיות

\mathbf{G}=\mathbf{R}-\frac{1}{2}\mathbf{g}R

כאשר \mathbf{R} הוא טנזור ריצ'י, \mathbf{g} הוא הטנזור המטרי ו-R הוא סקלר ריצ'י המהווה ביטוי סקלרי לעקמומיות של המרחב.

בכתיב עם אינדקסים, הגדרת טנזור איינשטיין היא

G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - {1\over2} g_{\mu\nu}R

ביטוי מפורש[עריכת קוד מקור | עריכה]

טנזור ריצ'י תלוי רק בטנזור המטרי ונגזרותיו, כך שניתן להגדיר את טנזור איינשטיין רק באמצעות הטנזור המטרי (ונגזרותיו). ברם, ביטוי זה ארוך ומסובך, ולכן רק לעתים נדירות נמצא בספרי לימוד. ניתן לראות את המורכבות של ביטוי באמצעות הנוסחה לטנזור באמצעות סמלי כריסטופל:


\begin{align}
G_{\alpha\beta} &= R_{\alpha\beta} - \frac{1}{2} g_{\alpha\beta} R \\
&= R_{\alpha\beta} - \frac{1}{2} g_{\alpha\beta} g^{\gamma\zeta} R_{\gamma\zeta} \\
&= (\delta^\gamma_\alpha \delta^\zeta_\beta - \frac{1}{2} g_{\alpha\beta}g^{\gamma\zeta}) R_{\gamma\zeta} \\
&= (\delta^\gamma_\alpha \delta^\zeta_\beta - \frac{1}{2} g_{\alpha\beta}g^{\gamma\zeta})(\Gamma^\epsilon_{\gamma\zeta,\epsilon} - \Gamma^\epsilon_{\gamma\epsilon,\zeta} + \Gamma^\epsilon_{\epsilon\sigma} \Gamma^\sigma_{\gamma\zeta} - \Gamma^\epsilon_{\zeta\sigma} \Gamma^\sigma_{\epsilon\gamma}),
\end{align}

כאשר \delta^\alpha_\beta הוא הדלתא של קרונקר ואת סמלי כריסטופל \Gamma^\alpha_{\beta\gamma} ניתן לרשום באמצעות הטנזור המטרי, לפי הנוסחה הבאה:

\Gamma^\alpha_{\beta\gamma} = \frac{1}{2} g^{\alpha\epsilon}(g_{\beta\epsilon,\gamma} + g_{\gamma\epsilon,\beta} - g_{\beta\gamma,\epsilon})

לפני צמצומים , הנוסחה כוללת 2 \times (6+6+9+9) = 60 איברים. צמצומים מקטינים מספר זה.

במקרה הפרטי של מערכת ייחוס אינרציאלית לוקלית ליד נקודה, הנגזרות הראשונות של הטנזור המטרי מתאפסות, וניתן לפשט את הביטוי לטנזור איינשטיין:

\begin{align}G_{\alpha\beta} & = g^{\gamma\mu}\bigl[ g_{\gamma[\beta,\mu]\alpha} + g_{\alpha[\mu,\beta]\gamma} - \frac{1}{2} g_{\alpha\beta} g^{\epsilon\sigma} (g_{\epsilon[\mu,\sigma]\gamma} + g_{\gamma[\sigma,\mu]\epsilon})\bigr] \\ & = g^{\gamma\mu} (\delta^\epsilon_\alpha \delta^\sigma_\beta - \frac{1}{2} g^{\epsilon\sigma}g_{\alpha\beta})(g_{\epsilon[\mu,\sigma]\gamma} + g_{\gamma[\sigma,\mu]\epsilon}),\end{align}

כאשר סוגריים מרובעות מציינות אנטי-סימטריזציה על האינדקסים המוכלים בהם, כלומר:

g_{\alpha[\beta,\gamma]\epsilon} \, = \frac{1}{2} (g_{\alpha\beta,\gamma\epsilon} - g_{\alpha\gamma,\beta\epsilon})

עקבה[עריכת קוד מקור | עריכה]

העקבה של טנזור איינשטיין ניתנת לחישוב על ידי כיווץ אינדקסים במשוואה המגדירה את טנזור איינשטיין באמצעות הטנזור המטרי g^{\mu\nu}. בממד D כללי מקבלים:

\begin{align}g^{\mu\nu}G_{\mu\nu} &= g^{\mu\nu}R_{\mu\nu} - {1\over2} g^{\mu\nu}g_{\mu\nu}R \\ G &= R - {1\over2} (DR) \\ G &= {{2-D}\over2}R\end{align}

במקרה הפרטי של מרחב-זמן בעל 3 ממדי מרחב וממד זמן אחד, העקבה של טנזור איינשטיין היא מינוס העקבה של טנזור ריצ'י. מסיבה זו נקרא טנזור איינשטיין לעתים "טנזור ריצ'י בעל עקבה הפוכה".

שימוש ביחסות כללית[עריכת קוד מקור | עריכה]

טנזור איינשטיין מאפשר רישום קומפקטי של משוואת השדה של איינשטיין:

G_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu}

כאשר  T_{\mu\nu} הוא טנזור המאמץ-אנרגיה, c היא מהירות האור בריק, G הוא קבוע הכבידה האוניברסלי ו-\pi הוא הקבוע המתמטי פאי.

ביחידות גאומטריות בהן G=c=1 מקבלים ביטוי פשוט יותר:

G_{\mu\nu} = 8 \pi \, T_{\mu\nu}.

מהביטוי המפורש לטנזור איינשטיין למעלה, ניתן לראות שטנזור איינשיין הוא פונקציה לא-לינארית של הטנזור המטרי אך לינארי בנגזרות החלקיות של הטנזור המטרי. כטנזור סימטרי מדרגה 2, טנזור איינשטיין הוא בעל 10 רכיבים בלתי-תלויים במרחב-זמן 4 ממדי. מכאן עולה שמשוואת השדה של איינשויין היא בעצם סט של 10 משוואות דיפרנציאליות חלקיות קוואזי-לינאריות מסדר שני.

ניתן לבטא את זהות ביאנקי באמצעות טנזור איינשטיין:

 \nabla_{\mu} G^{\mu\nu} = 0

כאשר \nabla_{\mu} מציינת נגזרת קו-ואריאנטית.

זהות ביאנקי מבטיחה באופן אוטומטי את שימור טנזור המאמץ-אנרגיה.

\nabla_{\mu} T^{\mu\nu} = 0

החשיבות הגאומטרית של טנזור איינשטיין מודגשות באמצעות זהות זו. במערכת קואורדינטות ביחס לתנאי הכיול הבא

\Gamma^{\rho}_{\mu\nu} G^{\mu\nu} = 0

ניתן לרשום חוקי שימור מדויקים עבור טנזור המאמץ:

\partial_{\mu}(\sqrt{g} T^{\mu\nu}) = 0.

תפקידו של טנזור איינשטיין הוא להבחין בין מערכות אלה.

את צורתו טנזור איינשטיין ניתן להסיק מעקרון הפעולה של המילטון (עקרון ואריציוני) בהינתן הפעולה הבאה, הידועה כפעולת הילברט:

\ S = \int{ d^4 x R \sqrt{- \det g} }

לקריאה נוספת[עריכת קוד מקור | עריכה]