טנזור התמד

		מתקיים דיון בו מוצע לאחד ערך זה עם הערך מומנט התמד.
		אם אין התנגדויות, ניתן לאחד את הערכים שבוע לאחר הצבת התבנית.	שיחה

טנזור ההתמד (או טנזור האינרציה) הוא דרך נוחה וקצרה להציג את מומנטי ההתמד של הגוף. כתיבת מומנט ההתמד כטנזור מאפשרת למצוא קשר נוח בין המהירות הזוויתית של גוף לתנע הזוויתי ולאנרגיה הקינטית שלו.

טנזור התמד

טנזור ההתמד מורכב מרכיבים של מומנטי ההתמד של המסה ומרכיבים של מכפלת התמד של המסה. טנזור ההתמד מוגדר כך:

$\mathbf{I} \stackrel{\mathrm{def}}{=} \begin{bmatrix} I_{xx} & I_{xy} & I_{xz} \\ I_{yx} & I_{yy} & I_{yz} \\ I_{zx} & I_{zy} & I_{zz} \end{bmatrix}$

כאשר הרכיבים על האלכסון הראשי הם מומנטי התמד של המסה ביחס לציר נתון:

• $\ I_{xx}$ - הוא מומנט ההתמד של המסה סביב ציר $\ X$
• $\ I_{yy}$ - הוא מומנט ההתמד של המסה סביב ציר $\ Y$
• $\ I_{zz}$ - הוא מומנט ההתמד של המסה סביב ציר $\ Z$

שאר האיברים הם מכפלת ההתמד של המסה ביחס לזוג צירים נתון:

• $\ I_{xy}$ - הוא מכפלת ההתמד של המסה ביחס לצירים $\ X, Y$
• $\ I_{xz}$ - הוא מכפלת ההתמד של המסה ביחס לצירים $\ X, Z$
• $\ I_{yz}$ - הוא מכפלת ההתמד של המסה ביחס לצירים $\ Y, Z$

ומתקיים $\ I_{xy}=I_{yx}, I_{yz}=I_{zy}, I_{xz}=I_{zx}$. אם כל מכפלות ההתמד מתאפסות, קוראים לצירים $\ x,y,z$ צירים ראשיים.

בכתיבה זו, נוח לחשב את התנע הזוויתי והאנרגיה הקינטית של הגוף:

• התנע הזוויתי נתון על ידי $\ \vec M = I\vec\omega$, כאשר $\ \vec\omega$ היא המהירות הזוויתית והכפל הוא כפל מטריצות רגיל.

• האנרגיה הקינטית נתונה על ידי $\ E_k = \frac{1}{2} \, \vec \omega^t I \vec \omega$, וגם כאן הכפל הוא כפל מטריצות רגיל. כלומר, האנרגיה הקינטית היא חצי מהתוצאה המתקבלת על ידי הצבת $\ \vec \omega$ בתבנית הריבועית המוגדרת על ידי $\ I$.

חשוב לציין כי טנזור ההתמד הוא מטריצה סימטרית, ולכן ניתן ללכסן אותו על ידי מערכת צירים אורתוגונלית. זוהי עובדה חשובה בעלת משמעות פיזיקלית מעניינת - לכל גוף תלת ממדי ניתן לבחור שלושה צירים ניצבים שיהוו עבורו צירים ראשיים.

כיוון שהתנע הזוויתי מתקבל ממכפלת טנזור האינרציה במהירות הזוויתית, מתקבלת תופעה מפתיעה - התנע הזוויתי לא חייב להיות מקביל למהירות הזוויתית. תופעה זו גורמת לכך שגופים המסתובבים באופן חופשי, יכולים לבצע תנועה מסוכבת למדי. אם, לדוגמה, נזרוק עט באוויר כך שהוא מסתובב בערך סביב צירו, נגלה כי קצוות העט "מציירים" באוויר מעגלים קטנים. תופעה זו מתקבל כיוון שחוק שימור התנע דורש כי התנע הזוויתי ישאר קבוע. אם המהירות הזוויתית אינה מקבילה לתנע הזוויתי, מוכרח להתקיים שווקטור המהירות הזוויתי יקיף את ווקטור התנע הזוויתי במעגלים. תופעה זו נקראת נקיפה (פרצסיה).

הגדרה

הרכיבים של טנזור ההתמד כסכומים

$I_{xx} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \sum_{i=1}^{N} m_{i} (y_{i}^{2}+z_{i}^{2})\,\!$

$I_{yy} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \sum_{i=1}^{N} m_{i} (x_{i}^{2}+z_{i}^{2})\,\!$

$I_{zz} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \sum_{i=1}^{N} m_{i} (x_{i}^{2}+y_{i}^{2})\,\!$

$I_{xy} = I_{yx} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ -\sum_{i=1}^{N} m_{i} x_{i} y_{i}\,\!$

$I_{xz} = I_{zx} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ -\sum_{i=1}^{N} m_{i} x_{i} z_{i}\,\!$

$I_{yz} = I_{zy} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ -\sum_{i=1}^{N} m_{i} y_{i} z_{i}\,\!$

• $\ m_i$ - היא יחידת מסת הגוף
• $\ x_i, y_i, z_i$ - הן הקואורדינטות של יחידת מסה של הגוף במערכת צירים קרטזית
• $\ N$ - הן מספר יחידות המסה בגוף

הרכיבים של טנזור ההתמד כאינטגרלים

כאשר מדובר בגוף רציף שלא ניתן לראות אותו כמורכב מיחידות בדידות קטנות, הגדרת רכיבי טנזור ההתמד נעשית בצורה שקולה לחלוטין באמצעות אינטגרלים:

$I_{xx} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \iiint_V (y^{2}+z^{2})\,\rho(v)\,dv \!$

$I_{yy} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \iiint_V (x^{2}+z^{2})\,\rho(v)\,dv \!$

$I_{zz} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \iiint_V (x^{2}+y^{2})\,\rho(v)\,dv \!$

$I_{xy} = I_{yx} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ -\iiint_V xy\,\rho(v)\,dv \!$

$I_{xz} = I_{zx} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ -\iiint_V xz\,\rho(v)\,dv \!$

$I_{yz} = I_{zy} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ -\iiint_V yz\,\rho(v)\,dv \!$

כאשר:

• $\ V$ - הוא נפח הגוף
• $\ \rho$ - הוא פונקציית הצפיפות של הגוף
• $\ x, y, z$ - הן הקואורדינטות של יחידת מסה של הגוף במערכת צירים קרטזית

שינוי צירים

אם $\ T$ היא מטריצת סיבוב, ו $\ I$ הוא טנזור ההתמד במערכת צירים ידועה, אז טנזור ההתמד במערכת הצירים המתקבלת על ידי הפעלת $\ T$ נתון על ידי $I_{new}=T^{-1}\cdot R\cdot T$

דוגמאות

קובייה מלאה

• $\ a, b, c$ - ממדי הקובייה
• $\ \rho$ - צפיפות חומר הקוביה
• $\ V$ - נפח הקוביה
• $\ I$ - טנזור ההתמד

הטנזור הוא:

$\mathbf{I} = \begin{bmatrix} \frac{\rho V}{3} (b^2 +a^2) & \frac{\rho V}{4} cb & \frac{\rho V}{4} ac \\ \frac{\rho V}{4} cb & \frac{\rho V}{3} (c^2 +a^2) & \frac{\rho V}{4} ab \\ \frac{\rho V}{4} ac & \frac{\rho V}{4} ab & \frac{\rho V}{3} (b^2 +c^2) \end{bmatrix}$

כדור מלא

• $\ R$ - רדיוס הכדור
• $\ M$ - מסת הכדור
• $\ I$ - טנזור ההתמד

הטנזור הוא:

$\mathbf{I} = \begin{bmatrix} \frac{2 M R^2}{5} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2 M R^2}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{2 M R^2}{5} \end{bmatrix}$

כאשר:

• $\ M =\rho \frac{4}{3} \pi R^3$
• $\ \rho$ - צפיפות חומר הכדור

טבלה

בטבלה מוצגים טנזורי מומנט ההתמד ביחס לצירים הראשיים של גופים פשוטים נוספים. להצגת הטבלה לחצו על "הצגה".

תאור	תרשים הגוף	טנזור מומנט ההתמד
כדור מלא ברדיוס r ומסה m		$I = \begin{bmatrix} \frac{2}{5} m r^2 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2}{5} m r^2 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{2}{5} m r^2 \end{bmatrix}$
כדור חלול ברדיוס r ומסה m		$I = \begin{bmatrix} \frac{2}{3} m r^2 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2}{3} m r^2 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{2}{3} m r^2 \end{bmatrix}$
חרוט ברדיוס r, גובה h ומסה m, הציר עובר במרכז הבסיס		$I = \begin{bmatrix} \frac{1}{10} m h^2 + \frac{3}{20} m r^2 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{10} m h^2 + \frac{3}{20} m r^2 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{3}{10} m r^2 \end{bmatrix}$
קובייה מלאה ברוחב w, גובה h, עומק d, ומסה m		$I = \begin{bmatrix} \frac{1}{12} m (h^2 + d^2) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{12} m (w^2 + d^2) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{12} m (w^2 + h^2) \end{bmatrix}$
מוט תמיר באורך l ומסה m כשהציר עובר בקצה		$I = \begin{bmatrix} \frac{1}{3} m l^2 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{3} m l^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$
מוט תמיר באורך l ומסה m כשהציר עובר במרכז המוט		$I = \begin{bmatrix} \frac{1}{12} m l^2 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{12} m l^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$
גליל מלא ברדיוס r, גובה h ומסה m		$I = \begin{bmatrix} \frac{1}{12} m (3r^2+h^2) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{12} m (3r^2+h^2) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{2} m r^2\end{bmatrix}$

לקריאה נוספת

• Sybil P. Parker, McGraw Hill Encyclopedia of Engineering, 1983.
• Irving H. Shames, Engineering Mechanics, Prentic - Hill International Inc. 1970

קישורים חיצוניים

• מומנט האינרציה כטנזור (באנגלית)
• טנזור האינרציה (באנגלית)
• מומנט האינרציה (באנגלית)
• רשימת נוסחאות למומנטי התמד בויקיפדיה האנגלית