יווניות (מתמטיקה פיננסית)

במתמטיקה פיננסית, היווניות (באנגלית: Greeks) הן משתנים המתארים רגישות של אופציות ונגזרים פיננסים ביחס לפרמטרים שלהם. השם נגזר מסימון משתנים אלו באותיות יווניות.

יעוד היווניות

היווניות משמש ככלי עיקרי בניהול סיכונים פיננסיים. כאשר כל יוונית מתארת את השיעור השינוי הצפוי כאשר מתרחש שינוי באחד הפרמטרים של התיק או של נכס הבסיס ובעצם מתארת את רגישות התיק לשינוי זה. משתנים אלו מאפשרים למנהל הסיכונים לגדר סיכונים שנובעים משינויים במחיר נכס הבסיס. למשל גידור דלתא יאפשר גידור של סיכון שנובע משינוי בערך של נכס הבסיס.

במודל בלק ושולס, חישוב היווניות הוא אנליטי ופשוט, אולם ישנם מודלים שבהם החישוב מסובך מאוד.

קיימות יווניות רבות אולם יש 5 יווניות עיקריות: דלתא, ווגה, תטא, רו, גמא. כאשר הארבע הראשונות הן נגזרות מדרגה ראשונה של מחיר נכס הבסיס, וגמא היא נגזרת מדרגה שנייה.

היווניות

דלתא

דלתא, $\Delta$, הוא משתנה המתאר את הרגישות של מחיר הנגזר ביחס לערך נכס הבסיס: $\Delta ={\frac {\partial V}{\partial S}}$.

במודל בלק שולס

הנוסחה למחיר אופציית רכש (CALL) אירופאית הוא:

$V_{c}=S\Phi (d_{1})-Ke^{-rT}\Phi (d_{2})\,$

והנוסחה של אופציית מכר (PUT) אירופאית הוא:

$V_{p}=Ke^{-rT}\Phi (-d_{2})-S\Phi (-d_{1})\,$

כאשר

$d_{1}={\frac {\ln(S/K)+(r+\sigma ^{2}/2)T}{\sigma {\sqrt {T}}}}$

$d_{2}={\frac {\ln(S/K)+(r-\sigma ^{2}/2)T}{\sigma {\sqrt {T}}}}=d_{1}-\sigma {\sqrt {T}}$

$\Phi$ הוא ההתפלגות הנורמלית הסטנדרטית.

הדלתא של אופציית רכש: $\Delta ={\frac {\partial V_{c}}{\partial S}}=\Phi (d_{1})$ ומכיוון ש-$\Phi$ הוא פונקציית התפלגות אז ערכו נע בין 0 ל-1. הדלתא של אופציית מכר תהיה $\Delta ={\frac {\partial V_{c}}{\partial S}}=-\Phi (-d_{1})=\Phi (d_{1})-1$ וערכה יהיה בין 1- ל-0.

מכיוון שהדלתא של נכס בסיס הוא 1 (ערכה הוא S ולכן $\Delta ={\frac {\partial S}{\partial S}}=1$) אז ניתן לגדר לפי דלתא בפשטות תיק בעל נכסים רבים על ידי חישוב ערך הדלתא המשוקלל של כל הנכסים וקניה או מכירה של נכס בסיס לפי הדלתא שהתקבלה כך שהדלתא הכוללת תהיה 0.

ווגה

ווגה, מסומן על ידי האות נו $\nu$, הוא משתנה המתאר את הרגישות של מחיר הנגזר ביחס לתנודתיות: $\nu ={\frac {\partial V}{\partial \sigma }}$.

ווגה היא יוונית החשובה למספר אסטרטגיות כמו אסטרטגיית אוכף שבו יש חשיבות גדולה מאוד לתנודתיות של נכס הבסיס.

במודל בלק שולס

הווגה של אופציית רכש זהה לווגה של אופציית מכר ושווה: ${\mathcal {V}}_{c}={\mathcal {V}}_{p}={\frac {\partial V}{\partial \sigma }}=S{\sqrt {T}}\Phi '(d_{1})$.

ערך הווגה חיובי תמיד וככל שהוא קרוב יותר ל-0 השינוי בתנודתיות משפיעה פחות על ערך התיק.

תטא

תטא, $\theta$, הוא משתנה המתאר את הרגישות של מחיר הנגזר ביחס לערך הזמן של הנגזר. מכיוון שהזמן עד למימוש/פקיעת הנגזר הוא נתון שקטן, התטא מחושבת כנגזרת שלילית $\theta =-{\frac {\partial V}{\partial T}}$.

במודל בלק שולס

ערך התטא לאופציית רכש: $\theta _{c}=-{\frac {S\Phi '(d_{1})\sigma }{2{\sqrt {T}}}}-rKe^{-rT}\Phi (d_{2})$
ערך התטא לאופציית מכר: $\theta _{p}=-{\frac {S\Phi '(d_{1})\sigma }{2{\sqrt {T}}}}+rKe^{-rT}\Phi (-d_{2})$

רו

רו, $\rho$, הוא משתנה המתאר את הרגישות של מחיר הנגזר ביחס לריבית חסרת סיכון $\rho =-{\frac {\partial V}{\partial r}}$.

מכיוון שהריבית במשק אינה משתנה בצורה קיצונית אלא במקרים נדירים מאוד, רו היא היוונית מסדר ראשונה שמשתמשים בה פחות. בדרך כלל אם הזמן הנגזר אינו עולה על 3 שנים, לא מתייחסים כלל למשתנה זה.

במודל בלק שולס

ערך הרו לאופציית רכש: $\rho _{c}=KTe^{-rT}\Phi (d_{2})$
ערך הרו לאופציית מכר: $\rho _{p}=-KTe^{-rT}\Phi (-d_{2})$

ערך הרו של אופציית רכש חיובי תמיד ושל אופציית מכר שלילי תמיד.

גמא

גמא, $\gamma$, הוא משתנה המתאר את הרגישות של מחיר הנגזר ביחס לשינוי בערך נכס הבסיס זאת אומרת ביחס לדלתא: $\gamma ={\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}={\frac {\partial \Delta }{\partial S}}$.

אף על פי שמדובר על שינוי מסדר שני, גמא היא יוונית חשובה מאוד בעיקר כאשר מחיר נכס הבסיס תנודתי מאוד. במקרה כזה, חשיפה גבוהה לגמא מייצרת עלייה מהירה בחשיפה לדלתא, ולכן ההתייחסות לגמא היא באותה דרגת חשיבות כמו ליווניות מסדר ראשון.

רבים ממנהלי הסיכונים מנסים ליצור תיקים מגודרי דלתא-גמא, זאת אומרת שערך הדלתא וערך הגמא של התיק יהיו 0.

במודל בלק שולס

ערך הגמא לאופציית רכש ולאופציית מכר זהות ושוות: $\gamma _{c}=\gamma _{p}={\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}={\frac {\Phi '(d_{1})}{S\sigma {\sqrt {T}}}}$

ערך הגמא חיובי תמיד וככל שהוא קרוב יותר ל-0 השינוי בתנודתיות משפיע פחות על ערך התיק.