יחס הכסף

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
Delta.jpg

יחס הכסף הוא קבוע מתמטי שערכו המקורב הוא 2.414.

הגדרה והצגה[עריכת קוד מקור | עריכה]

יחס הכסף מהווה פתרון למשוואה הריבועית \ x^2-2x-1=0.

ניתן להציג את יחס הכסף כסכום של אחת ועוד שורש שתיים:

\delta_{Ag} = 1+\sqrt{2} \approx 2.4142135623730950488016887242096980785696718753769480731766797...\,

כך ש: (\delta_{Ag}-1)^2=2\,

ניתן להציגו גם כ

 \delta_{Ag} = \frac{1}{\sqrt{2} - 1}

הגדרה נוספת של יחס הכסף היא


\delta_{Ag} = 2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \ddots}}}\, .

יחס הכסף וסדרת פל[עריכת קוד מקור | עריכה]

יחס הכסף נקרא בשם זה באנלוגיה ליחס הזהב המוכר יותר. לשני היחסים תכונות רבות משותפות (ראו בהמשך). אחת מהן היא היחס בין איברי סדרה מספרית : כפי שיחס הזהב מהווה את קירוב היחס בין שני מספרי פיבונאצ'י עוקבים, כך יחס הכסף מהווה את היחס בין שני איברי סדרת פל עוקבים.

סדרת פל היא סדרה שתחילתה במספרים 0 ו-1, וכל איבר נוסף בה הוא סכום של פעמיים האיבר הקודם לו ושל האיבר שלפני הקודם. כך למשל האיבר הרביעי בסדרה הוא 5 - פעמיים הסיפרה שתיים ופעם אחת הספרה אחת. תחילתה של סדרת פל היא המספרים: 0, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, ...

באיבר התשיעי הקירוב הוא

\frac{985}{408}=2.4142\approx 1+\sqrt{2}

תכונות מתמטיות של יחס הכסף[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • חזקות יחס הכסף ניתנות להבעה באמצעות איברי סדרת פל בצורה הבאה:
 \!\ \delta_{Ag}^n = K_n\delta_{Ag} + K_{(n-1)}

כאשר : \!\ K_n = 2 K_{(n-1)} + K_{(n-2)} (האיבר ה-nי בסדרת פל)

 \!\ \delta_{Ag}^0 = 1
 \delta_{Ag}^1 = \delta_{Ag} + 0
 \delta_{Ag}^2 = 2\delta_{Ag} + 1
 \delta_{Ag}^3 = 5\delta_{Ag} + 2
 \delta_{Ag}^4 = 12\delta_{Ag} + 5
\textstyle \cot \frac {\pi}{8} = \cot 22.5^\circ = 1+\sqrt{2} = \delta_{Ag}

יחס הכסף, מלבני כסף ומתומנים[עריכת קוד מקור | עריכה]

מתומן משוכלל המחולק לשני טרפזים ולמלבן

בשם מלבני כסף מכונים מלבנים משני סוגים:

  • מלבנים שהיחס בין צלעותיהם הוא יחס הכסף, כלומר 2.414 בקירוב
  • מלבנים שהיחס בין צלעותיהם הוא השורש הריבועי של שתיים, כלומר 1.414 בקירוב. דפי נייר המוגדרים בתקן ISO 216 , כמו A4, הם דמויי מלבן זה.

למלבני הכסף תכונה דומה למלבני זהב, בהם הסרת ריבוע מהמלבן יוצרת מלבן זהב נוסף, אלא שקיים שוני ביניהם: הסרת ריבוע ממלבן כסף מהסוג הראשון תביא ליצירת מלבן כסף מהסוג השני. הסרת ריבוע מהסוג השני של מלבני הכסף יוצרת מלבן מהסוג הראשון. קל לראות זאת במלבן שרוחבו יחידה ואורכו שווה ליחס הכסף - הסרת ריבוע תותיר מלבן שרוחבו יחידה ואורכו שווה לשורש שתיים. תכונה זו נובעת מהעובדה שניתן להציג את יחס הכסף הן כאחת ועוד שורש שתיים והן כ -

 \delta_{Ag} = \frac{1}{\sqrt{2} - 1}

במתומנים, ניתן לחלק מתומן משוכלל לשלושה חלקים - 2 טרפזים שווים בגודלם ומלבן. המלבן הוא מלבן כסף מהסוג הראשון, ובאילו בטרפזים היחס בין הבסיס הגדול לבסיס הקטן ולצלעות, השווים בגודלם, הוא יחס הכסף. שטחו של מתומן זה, שצלעו t, שווה לפעמיים יחס הכסף כשהוא מוכפל בריבוע הצלע. 2(1+\sqrt{2})t^2

הקשר בין יחס הכסף ליחס הזהב[עריכת קוד מקור | עריכה]

תכונה מעניינת קושרת בין שני היחסים: בנוסחה

\frac{n+\sqrt{n^2+4}}{2}

שהיא למעשה הפתרון של המשוואה הריבועית \ x^2-nx-1=0. יחס הזהב מתקבל עבור n=1 ואילו יחס הכסף עבור n=2. יחסים נוספים מובאים בטבלה משמאל. יחסים אלה נקראים ממוצעים מטאליים (Metallic means) ‏‏‏[1]

קבועי הכסף
0: \frac{0+\sqrt{4}}{2} 1
1: \frac{1+\sqrt{5}}{2} 1.618033989
2: \frac{2+\sqrt{8}}{2} 2.414213562
3: \frac{3+\sqrt{13}}{2} 3.302775638
4: \frac{4+\sqrt{20}}{2} 4.236067978
5: \frac{5+\sqrt{29}}{2} 5.192582404
6: \frac{6+\sqrt{40}}{2} 6.162277660
7: \frac{7+\sqrt{53}}{2} 7.140054945
8: \frac{8+\sqrt{68}}{2} 8.123105626
9: \frac{9+\sqrt{85}}{2} 9.109772229
...
n: \frac{n+\sqrt{n^2+4}}{2}

יחסים אלה שווים גם לביטוי:


n + \cfrac{1}{n + \cfrac{1}{n + \cfrac{1}{n + \cfrac{1}{\ddots\,}}}}
\,

ליחסים בטבלה תכונות משותפות רבות. היחס השלישי, למשל, (3.30277), הנקרא גם יחס הארד,‏[2] הוא היחס בין איברי הסדרה ...1,1,4,13,43,142,469 שכל איבר בה הוא סכום של שלוש פעמים קודמו, ועוד האיבר הקודם לקודמו.

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. ^ [1]
  2. ^ מקור