יחס כפול

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

בהינתן רביעיית נקודות במישור \ (a,b,c,d) (הממשי או המרוכב), היחס הכפול ביניהן יוגדר לפי: \frac{(a-c)(b-d)}{(a-d)(b-c)}. שמו של היחס הכפול מגיע מכך שהוא מתאר את היחס בין היחס \frac{(a-c)}{(a-d)} ובין היחס \frac{(b-c)}{(b-d)}.

היחס הכפול הוא שמורה של העתקת מביוס ושל העתקות פרויקטיביות.

בגלל האופי הסימטרי של ביטוי היחס הכפול, החלת תמורות על ארבע הנקודות \ (a,b,c,d) תניב לכל היותר שישה ערכים שונים של היחסים הכפולים ביניהן. למשל, אם נחליף את \ (a,b,c,d) ב-\ (b,a,d,c) נקבל את הביטוי \frac{(b-d)(a-c)}{(b-c)(a-d)}, השווה ליחס הכפול המקורי.

ככלל, בהינתן רביעיית נקודות בעלת יחס כפול \ \lambda\ , שינוי סדר הקואורדינטות בה יניב את הערכים הבאים:

(z_1, z_2; z_4, z_3) = {1\over\lambda} (z_1, z_3; z_4, z_2) = {1\over{1-\lambda}} (z_1, z_3; z_2, z_4) = 1-\lambda\, (z_1, z_4; z_3, z_2) = {\lambda\over{\lambda-1}} (z_1, z_4; z_2, z_3) = {{\lambda-1}\over\lambda}

היחס הכפול בגאומטריה פרויקטיבית[עריכת קוד מקור | עריכה]

ליחס הכפול ישנה הגדרה שונה ושקולה בגאומטריה פרויקטיבית. יהיו \ a= \begin{pmatrix} a_0 \\ a_1 \end{pmatrix}, \ b= \begin{pmatrix} b_0 \\ b_1 \end{pmatrix}, \ c= \begin{pmatrix} c_0 \\ c_1 \end{pmatrix}, \ d= \begin{pmatrix} d_0 \\ d_1 \end{pmatrix} ארבע נקודות על הישר הפרויקטיבי. כן תהיה \ T העתקה פרויקטיבית המקיימת \ T(a)=\infty , \ T(b)=0 ו-\ T(c)=1 . היחס הכפול בגאומטריה פרויקטיבית מוגדר להיות \ T(d). נראה שהיחס הכפול \ (a,b,c,d) שווה לו.

מהיות \ a,b,c שלוש נקודות בעלות שתי דרגות חופש, ניתן לבטא את \ c כצירוף לינארי \ c=\alpha\ a + \beta\ b . אולם, מכיוון שנקודות על הישר הפרויקטיבי אינן משתנות תחת כפל בקבוע, נסמן מחדש \ a=\alpha\ a ו-\ b=\beta\ b . כלומר, מתקים \ T( \alpha\ a)=(1,0) (נקודת האינסוף בקואורדינטות הומוגניות) ו- \ T(\beta\ b)=(0,1) (נקודת האפס בקואורדינטות הומוגניות).

כדי לבטא את היחס הכפול נבטא את \ d כצירוף לינארי \ d = \gamma\ a + \delta\ b. כך נקבל: \ T(d) = T( {\gamma\ \over \alpha\ \ }(\alpha\ a) + {\delta\ \over \beta\ \ }(\beta\ b)) = {\gamma\ \over \alpha\ \ }(1,0) + {\delta\ \over \beta\ \ }(0,1) = ({\gamma\ \over \alpha\ \ }, {\delta\ \over \beta\ \ }) = ({{\gamma\ \beta\ } \over \alpha\ \delta\ \ } ,1)

באמצעות נוסחת קרמר ניתן לקבל ביטוי מפורש למקדמים \ \alpha\ , \ \beta\ , \ \gamma\ ו-\ \delta\ , וממנו לקבל את זהות ההגדרות ליחס הכפול.