יריעה אלגברית אפינית

במתמטיקה, ובמיוחד בגאומטריה אלגברית, יריעה אלגברית אפינית היא קבוצת האפסים המשותפים של אוסף פולינומים נתון. יריעות אלגבריות אפיניות הן אבני הבינין מהן ניבנות יריעות אלגבריות שמהבות את אובייקט המרכזי הנחקר במסגרת הגאומטריה האלגברית הקלאסית.

הגדרה פורמלית

נניח כי k הוא שדה סגור אלגברית, ונסמן ב$\,\mathbf{A}^n$ את המרחב האפיני ה-n-ממדי - אוסף ה-nיות של איברים מ-k, כלומר $\,k^n$. ניתן לראות באיבר f בחוג הפולינומים ב-n משתנים $\,k[x_1,\dots,x_n]$ פונקציה $f:\,\mathbf{A}^n\rightarrow k$. בהינתן תת-קבוצה $\,S\subset k[x_1,\dots,x_n]$, נגדיר את אוסף האפסים המשותפים של S על ידי:

$\, \mathcal{V}(S) = Z(S) = \{x\in \mathbf{A}^n:\forall f \in S, f(x)=0\}$

תת קבוצה V של $\,\mathbf{A}^n$ תקרא יריעה אלגברית אפינית אם $\,V=Z(S)$ עבור קבוצה $\,S\subseteq k[x_1,\dots,x_n]$ כלשהי.

יריעות אי-פריקות

יריעה אלגברית אפינית שאינה ריקה V תקרא אי-פריקה אם לא ניתן להציגה כאיחוד של שתי יריעות אלגבריות אפיניות לא ריקות שונות. בעבר היה נהוג להישתמש בשם יריעה רק עבור יריעות אי-פריקות. טרמינולוגיה זאת עדין נימצת בשימוש במקורת מסוימים. כאשר מישתמשים בה נהוג ליקרא ליריעות אלגבריות שאינן בהכרך אי-פריקות "קבוצות אלגבריות"

טופולוגית זריצקי

ליריעות אפיניות ניתן לתת טופולוגיה (הנקראת טופולוגית זריצקי) בצורה טבעית על ידי כך ש"מכריזים" על כל קבוצות האלגבריות להיות הקבוצות הסגורות.

בהינתן תת-קבוצה V של $\,\mathbf{A}^n$, נגדיר את הקבוצה (I(V להיות אוסף כל הפולינומים המתאפסים בכל V, כלומר:

$\, \mathcal{I}(V) = \{f\in k[x_1,\dots,x_n]:\forall x \in V, f(x) =0\}$

זהו אידאל בחוג $\,k[x_1,\dots,x_n]$.

V סגורה אם ורק אם

$V=\mathcal{V}(\mathcal I(V))$

חוג הקואורדינטות והממד של יריעה

ניתן להראות כי קבוצה אלגברית אפינית V היא אי פריקה אם ורק אם (I(V הוא אידאל ראשוני. עבור יריעה אלגברית אפינית V, לחוג המנה $\,k[x_1,\dots,x_n]/\mathcal{I}(V)$ קוראים חוג הקואורדינטות של V. מאחר שבמקרה זה (I(V הוא אידאל ראשוני, הרי שחוג הקואורדינטות של V הוא תחום שלמות. הממד של יריעה אלגברית V מוגדר להיות ממד קרול של חוג הקואורדינטות של V. הממד של המרחב האפיני ה-n ממדי (כלומר של $\,\mathbf{A}^n$) הוא בדיוק n. מכיוון שעבור זוג פולינומים $\,f,g \in k[x_1,\dots,x_n]$ מתקיים כי $\,f-g\in \mathcal{I}(V)$ אם ורק אם לכל $\,x\in V$ מתקיים $\,f(x) = g(x)$, הרי שניתן לראות באיברי חוג הקואורדינטות של V פונקציות המוגדרות על V.

מורפיזמים של יריעות אלגבריות

מורפיזם בין שתי יריעות אלגבריות $X \subset \mathbb A^n$ ו $Y \subset \mathbb A^m$ הוא האתקה פולינומיאלית בין המרחבים האפינים $A^n$ ו $A^m$ (זאת אומרת $m$ פולינומים ב $n$ משתנים) שמעבירה את $X$ ל $Y$

יריעות אלגבריות X ו-Y נקראות איזומורפיות אם קיימים מורפיזימים $f: X \to Y$ ו-$g: Y \to X$ כך ש-$g \circ f = \mathrm{id}_X$ ו-$f \circ g = \mathrm{id}_Y$, כלומר: הרכבתם מניבה את מורפיזם הזהות על כל יריעה בהתאמה.

ראו גם

• ספקטרום (גאומטריה אלגברית)
• משפט האפסים של הילברט
• יריעה אלגברית
  • יריעה קווזי-פרויקטיבית
    • יריעה פרויקטיבית
    • יריעה קווזי-אפינית
  • יריעה שלמה
  • יריעה פרידה
  • יריעה טורית

לקריאה נוספת

• G. Kempf , Algebraic Varieties. Cambridge University Press, 1993
• Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry, 52, ISBN 978-0-387-90244-9 
• Milne, Algebraic geometry