יריעה אלגברית אפינית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

במתמטיקה, ובמיוחד בגאומטריה אלגברית, יריעה אלגברית אפינית היא קבוצת האפסים המשותפים של אוסף פולינומים נתון. יריעות אלגבריות אפיניות הן אבני הבניין מהן נבנות יריעות אלגבריות שמהוות אובייקט מרכזי הנחקר במסגרת הגאומטריה האלגברית הקלאסית.

הגדרה פורמלית[עריכת קוד מקור | עריכה]

נניח כי k הוא שדה סגור אלגברית, ונסמן ב\,\mathbf{A}^n את המרחב האפיני ה-n-ממדי - אוסף ה-nיות של איברים מ-k, כלומר \,k^n. ניתן לראות באיבר f בחוג הפולינומים ב-n משתנים \,k[x_1,\dots,x_n] פונקציה f:\,\mathbf{A}^n\rightarrow k. בהינתן תת-קבוצה \,S\subset k[x_1,\dots,x_n], נגדיר את אוסף האפסים המשותפים של S על ידי:

\, \mathcal{V}(S) = Z(S) = \{x\in \mathbf{A}^n:\forall f \in S, f(x)=0\}

תת קבוצה V של \,\mathbf{A}^n תקרא יריעה אלגברית אפינית אם \,V=Z(S) עבור קבוצה \,S\subseteq k[x_1,\dots,x_n] כלשהי.

יריעות אי-פריקות[עריכת קוד מקור | עריכה]

יריעה אלגברית אפינית שאינה ריקה V תקרא אי-פריקה אם לא ניתן להציגה כאיחוד של שתי יריעות אלגבריות אפיניות לא ריקות שונות. בעבר היה נהוג להשתמש בשם יריעה רק עבור יריעות אי-פריקות. טרמינולוגיה זאת עדיין נמצאת בשימוש במקורות מסוימים. כאשר משתמשים בה, נהוג לקרא ליריעות אלגבריות שאינן בהכרח אי-פריקות "קבוצות אלגבריות".

טופולוגית זריצקי[עריכת קוד מקור | עריכה]

על יריעות אפיניות ניתן להגדיר טופולוגיה (הנקראת טופולוגית זריצקי) בצורה טבעית על ידי כך שמכריזים על כל הקבוצות האלגבריות להיות קבוצות הסגורות.

בהינתן תת-קבוצה V של \,\mathbf{A}^n, נגדיר את הקבוצה (I(V להיות אוסף כל הפולינומים המתאפסים בכל V, כלומר:

\, \mathcal{I}(V) = \{f\in k[x_1,\dots,x_n]:\forall x \in V, f(x) =0\}

זהו אידאל בחוג \,k[x_1,\dots,x_n].

V סגורה אם ורק אם

V=\mathcal{V}(\mathcal I(V))

חוג הקואורדינטות והממד של יריעה[עריכת קוד מקור | עריכה]

ניתן להראות כי קבוצה אלגברית אפינית V היא אי פריקה אם ורק אם (I(V הוא אידאל ראשוני. עבור יריעה אלגברית אפינית V, לחוג המנה \,k[x_1,\dots,x_n]/\mathcal{I}(V) קוראים חוג הקואורדינטות של V. מאחר שבמקרה זה (I(V הוא אידאל ראשוני, הרי שחוג הקואורדינטות של V הוא תחום שלמות. הממד של יריעה אלגברית V מוגדר להיות ממד קרול של חוג הקואורדינטות של V. הממד של המרחב האפיני ה-n ממדי (כלומר של \,\mathbf{A}^n) הוא בדיוק n. מכיוון שעבור זוג פולינומים \,f,g \in k[x_1,\dots,x_n] מתקיים כי \,f-g\in \mathcal{I}(V) אם ורק אם לכל \,x\in V מתקיים \,f(x) = g(x), הרי שניתן לראות באיברי חוג הקואורדינטות של V פונקציות המוגדרות על V.

מורפיזמים של יריעות אלגבריות[עריכת קוד מקור | עריכה]

מורפיזם בין שתי יריעות אלגבריות X \subset \mathbb A^n ו Y \subset \mathbb A^m הוא העתקה פולינומית בין המרחבים האפינים \mathbb{A}^n ו \mathbb{A}^m (זאת אומרת m פולינומים ב n משתנים) שמעבירה את X ל-Y.

יריעות אלגבריות X ו-Y נקראות איזומורפיות אם קיימים מורפיזימים f: X \to Y ו-g: Y \to X כך ש-g \circ f = \mathrm{id}_X ו-f \circ g = \mathrm{id}_Y, כלומר: הרכבתם מניבה את מורפיזם הזהות על כל יריעה בהתאמה.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

לקריאה נוספת[עריכת קוד מקור | עריכה]