יריעה אלגברית פרויקטיבית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
Gnome-colors-emblem-development.svg ערך זה נמצא בתהליך עבודה מתמשך. הערך פתוח לעריכה.
אתם מוזמנים לבצע עריכה לשונית, ויקיזציה וסגנון לפסקאות שנכתבו, וכמו כן לעזור להרחיב ולהשלים את הערך.

יריעה אלגברית פרויקטיבית היא יריעה אלגברית במרחב הפרויקטיבי, כלומר: קבוצת השורשים של קבוצת פולינומים הומוגניים. היריעות האלגבריות נחקרות במסגרת הגאומטריה הפרויקטיבית והגאומטריה האלגברית. למשל: קיימים מיונים של ישרים פרויקטיבים, עקומות קוניות פרויקטיביות (עקומות שמוגדרות על ידי פולינום הומוגני ממעלה 2) ועקומות קוביות פרויקטיביות (עקומות שמוגדרות על ידי פולינום הומוגני ממעלה 3) מישוריות. משפט בזו מנוסח אף הוא למקרה הפרויקטיבי. יריעות פרויקטיביות מופיעות גם במחקר של חבורות אלגבריות (למשל: אם G חבורה אלגברית ו-H תת-חבורה אלגברית שלה המנה G/H היא יריעה קווזי-פרויקטיבית).

הגדרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

המרחב הפרויקטיבי \mathbb{P}^n_K מעל שדה סגור אלגברית K הוא מרחב המנה של מרחב וקטורי המורכב מאוסף ה-n+1-יות (x_0, x_1, ... , x_n) ללא (0,...,0) תחת יחס השקילות

(x_0, x_1, ...,x_n) \sim (y_0,y_1,...,y_n) \iff \exists \lambda \in K^\times : \forall 0 \le i \le n : x_i = \lambda y_i

כלומר, כל שתי n+1-יות מזוהות כאחת אם הן פרופורציוניות זו לזו בסקלר שונה מאפס. מסמנים

\mathbb{P}^n_K =  \left( (K^{n+1}-\{0\})/\sim \right) = \left\{ (x_0 : x_1 : ... : x_n ) \mid x_i \in K , \mbox{ not all are zero} \right\}.

פולינום ב-n+1 משתנים x_0,x_1,...,x_n יקרא פולינום הומוגני ממעלה d אם

f(\lambda x_0 , ... , \lambda x_n) = \lambda^d f(x_0,...,x_n)

כאשר d היא מעלת הפולינום. לדוגמה: f(x,y,z) = x^2 + yz הוא הומוגני ממעלה 2 בעוד ש-g(x,y,z) = x^3 + yz אינו הומוגני בכלל.

נשים לב שאין משמעות לערך של פולינום בנקודה של המרחב הפרויקטיבי אך כן יש משמעות להתאפסות של פולינום הומוגני בנקודה פרויקטיבית. מגדירים, אם כן,

V = \mathcal{V}(f_1,...,f_m) = \left\{ (x_0 : x_1 : ... : x_n ) \in \mathbb{P}^n_K \mid f_1(x_0,...,x_n) = ... = f_m(x_0,...,x_n) = 0 \right\}

כאשר f_1,...,f_m הם פולינומים הומוגניים. הקבוצה V נקראת יריעה אלגברית פרויקטיבית.

קבוצה X ב-\mathbb{P}^n_K נקראת "קבוצה אלגברית" ומוגדרת להיות קבוצה סגורה אם היא מהצורה X = \mathcal{V}(f_1,...,f_m) עבור f_1,...,f_m הם פולינומים הומוגניים כלשהם. הגדרה זו משרה טופולוגיית זריצקי על המרחב הפרויקטיבי.

באופן דומה למקרה של יריעה אלגברית אפינית אפשר להגדיר טופולוגיית זריצקי ואי-פריקות של יריעות אלגבריות, וכן להגדיר K-אלגברה של פונקציות מעל כל יריעה. יש הכוללים בהגדרה "יריעה אלגברית פרויקטיבית" את הדרישה שהיא תהייה אי-פריקה בטופולוגיית זריצקי. באופן דומה למקרה האפיני, אפשר לנסח את משפט האפסים של הילברט.

יריעות קווזי-פרויקטיביות[עריכת קוד מקור | עריכה]

קבוצה פתוחה בטופולוגיית זריצקי שמוכלת בקבוצה סגורה במרחב הפרויקטיבי נקראת יריעה קווזי-פרויקטיבית. הגדרה שקולה היא קבוצה סגורה מקומית. יריעה אלגברית אפינית ויריעה אלגברית פרויקטיבית הן מקרה פרטי של יריעה קווזי-פרויקטיבית.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]