כופלי לגראנז'

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

במתמטיקה, כופלי לגראנז' הם משתנים מלאכותיים שאותם מוסיפים לפונקציה ממשית בת כמה משתנים, על-מנת לאפשר מציאת נקודות קיצון של הפונקציה בכפוף לאילוצים. משתנים אלה קרויים על-שמו של ז'וזף לואי לגראנז' ונעשה בהם שימוש נרחב במתמטיקה, בפיזיקה (בפרט במכניקה אנליטית) ובחקר ביצועים לפתרון בעיות תכנון לא-לינארי.

השיטה הטבעית למצוא נקודת קיצון של פונקציה גזירה, במיוחד בתחום פתוח, היא להשוות את הנגזרות החלקיות לאפס. אכן, על פי משפט פרמה, הנגזרות החלקיות מתאפסות בכל נקודת קיצון של פונקציה גזירה בתחום פתוח. בתחום שאינו פתוח, עשויות להיות נקודות קיצון גם על השפה. אילוצים על המשתנים, הנתונים בצורת משוואה כגון \ x^2+y^2+z^2=1, הופכים את התחום לקבוצה סגורה, שכולה שפה, ובכך מונעים לחלוטין את השימוש הישיר בשיטת הנגזרות החלקיות.

תיאור השיטה[עריכת קוד מקור | עריכה]

שיטת כופלי לגראנז' הופכת בעיה שבה מבקשים למצוא את נקודות הקיצון של פונקציה בת \ n משתנים \ f : D \rightarrow \mathbb{R} (כאשר \ D \subset \mathbb{R}^n הוא תחום פתוח), בכפוף ל-\ k אילוצים \ g_i(x_1,x_2,...,x_n)=0, לבעיה בה יש למצוא את נקודות הקיצון של פונקציה בעלת \ n+k משתנים, שמהם \ k הם כופלי לגראנז', ללא אילוצים.

השיטה היא להגדיר פונקציה חדשה:

\ h(x_1,x_2,..,x_n,\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_k) \equiv f(x_1,x_2,..,x_n) + \lambda_1 g_1(x_1,x_2,..,x_n) + \lambda_2 g_2(x_1,x_2,..,x_n) +... + \lambda_k g_k(x_1,x_2,..,x_n)

המכונה הלגראנז'יאן, כאשר \ \lambda_i\in \mathbb{R} נקראים כופלי לגראנז'. על מנת למצוא נקודת קיצון, נגזור את הפונקציה לפי כל המשתנים - המקוריים והמלאכותיים - ונקבל \ n משוואות מהסוג \ \frac {\partial h(x_1,x_2,..,x_n,\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_k)}{\partial x_i} = 0, בנוסף ל-\ k האילוצים \ g_i(x_1,x_2,...,x_n)=0. הפתרונות למערכת המשוואות המתקבלות הן הנקודות החשודות כנקודות קיצון, שאותן יש לבדוק פרטנית בדרכים אחרות.

ההסיאן[עריכת קוד מקור | עריכה]

ההסיאן של מערכת המשוואות מזהה אילו נקודות חשודות הן נקודות מינימום או מקסימום, ואילו הן נקודות אוכף בלבד.

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • הפונקציה שאת נקודות הקיצון שלה אנו רוצים למצוא היא \ f(x,y)=xy . ניקח את האילוץ שכל הנקודות שהפונקציה מקבלת הן על המעגל \ x^2+y^2=1. המשוואות שנקבל יהיו:
\ \frac{\partial h(x,y)}{\partial x} =y +  \lambda \frac{\partial \left(x^2+y^2-1\right)}{\partial x}=0
\ \frac{\partial h(x,y)}{\partial y} =x +  \lambda \frac{\partial \left(x^2+y^2-1\right)}{\partial y}=0

\ \frac{\partial h(x,y)}{\partial \lambda} =  x^2+y^2-1=0

פתרון המשוואות יתן
\ y = -  2x \lambda
\ x = -  2y \lambda
ואז, \ \lambda  = -\frac{y}{2x} ו \ x^2 =   y^2 ואז, בעזרת האילוץ נקבל \ x=\pm \sqrt{\frac{1}{2}} ו \ y=\pm \sqrt{\frac{1}{2}}.


  • פחית היא גליל ונפחה הוא נפח הגליל \ V. חומר הגלם פרופרציוני ישר לשטח הפנים של הגליל \ A, לכן נחפש את המקרה עבורו שטח הפנים הוא מינימלי. לתיאור הגליל דרושים שני משתנים, רדיוסו \ r וגובהו \ h. את נקודת הקיצון אנו צריכים למצוא עבור הפונקציה \ A(r,h) = 2\pi r^2 + 2\pi r h, כשהאילוץ הוא \ V=\pi r^2 h \Rightarrow V-\pi r^2 h=0. המשוואות המתקבלות הנן:
\ \frac{\partial A(r,h)}{\partial r} = -  \lambda \frac{\partial {V- \pi r^2 h}}{\partial r}
\ \frac{\partial A(r,h)}{\partial h} = -  \lambda \frac{\partial {V- \pi r^2 h}}{\partial h}
פתרונן נותן:
\ 4 \pi r + 2\pi h =   \lambda 2\pi r h
\ 2\pi r=   \lambda  \pi r^2
ולפיכך, \  \lambda  = \frac 2 r      ו \ h= 2  r  . ניעזר באילוץ ונקבל \ r= \left(\frac {V} {2\pi}\right)^{\frac 1 3} ו \ h= \left(\frac {4V} {\pi}\right)^{\frac 1 3}.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]