כלל המקבילית

במתמטיקה, כלל המקבילית הוא, בצורתו הפשוטה ביותר, משפט בגאומטריה אוקלידית, הקובע כי סכום ריבועי ארבעת צלעות המקבילית שווה לסכום ריבועי האלכסונים. במקרה שהמקבילית היא מלבן, האלכסונים שווים ומתקבל משפט פיתגורס.

ניסוח וקטורי של כלל המקבילית

כלל המקבילית

במישור האוקלידי, בהינתן שני וקטורים $\,a,b \ne 0$ שאינם נמצאים על ישר אחד, ניתן ליצור מקבילית הנקבעת על ידי אורך הווקטורים וכיוונם (ראו איור משמאל). מהאפיון הגאומטרי של חיבור וקטורים ניתן לראות כי אלכסוניהּ של המקבילית הם הווקטורים $\,a+b$ ו-$\,a-b$, ולפיכך, ניתן לנסח את כלל המקבילית בצורה וקטורית על ידי השוויון:

$\,2(|a|^2+|b|^2) = |a+b|^2+|a-b|^2$

הכללה למרחבי מכפלה פנימית

על פי הניסוח האלגברי לעיל, ניתן לקבל הכללה לכלל המקבילית לכל מרחב מכפלה פנימית: בהינתן מרחב מכפלה פנימית $\ V$ (מעל שדה המספרים הממשיים או שדה המספרים המרוכבים), לכל זוג וקטורים $\ z$ ו-$\ w$ ב-$\ V$ מתקיים השוויון:

$\ ||z+w||^2 + ||z-w||^2 =2 (||z||^2+||w||^2)$

כאשר

$||x||^2 = \langle x, x\rangle$.

ניתן להוכיח את הכלל ישירות על פי תכונות המכפלה הפנימית.

כלל המקבילית ומרחבים נורמים

מכיוון שכלל המקבילית עבור מרחבי מכפלה פנימית מנוסח לחלוטין במונחי הנורמה, מתעוררת שאלה טבעית האם הכלל תקף גם במרחבים נורמים. מתברר כי אם המרחב הנורמי מוגדר מעל שדה הממשיים או המרוכבים, אז כלל המקבילית מתקיים אם ורק אם הנורמה מושרית על ידי מכפלה פנימית. בפרט, ניתן להוכיח כי מרחב נורמי מסוים אינו מרחב מכפלה פנימית על ידי כך שמראים שאינו מקיים את כלל המקבילית.

דוגמה למרחב נורמי שאינו מרחב מכפלה פנימית

נסמן ב-$\ V$ את אוסף הפונקציות הממשיות הרציפות על הקטע [0,1]. זהו מרחב וקטורי ביחס לפעולות של חיבור פונקציות וכפל פונקציה בסקלר. נגדיר נורמה על $\ V$ על ידי:

$\,||f|| = \sup_{x\in [0,1]}|f(x)|$

כלומר, הנורמה של פונקציה רציפה $\ f$ שווה לערך המקסימלי של $\ |f|$ בקטע (קיומו של ערך כזה מובטח על ידי משפטי ויירשטראס). בדרך זו הופך $\ V$ למרחב נורמי, ואף למרחב בנך. על מנת להראות כי מרחב זה אינו מרחב מכפלה פנימית, נתבונן בפונקציות

$f(x) = x \qquad g(x) = 1-x$

במקרה זה, מתקיים:

$\,2(||f||^2+||g||^2) =2(1^2+1^2) =4$

ואילו

$\,||f+g||^2 + ||f-g||^2 = 1^2 + 1^2 = 2$

לפיכך, כלל המקבילית אינו מתקיים, ובפרט $\ V$ אינו מרחב מכפלה פנימית.

קישורים חיצוניים

• הוכחה של הגרסה הגאומטרית של כלל המקבילית באתר PlanetMath (באנגלית)
• הוכחה נוספת של הגרסה הגאומטרית של כלל המקבילית באתר PlanetMath (באנגלית)