כפל בסקלר

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
(הופנה מהדף כפל וקטור בסקלר)
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

באלגברה, כפל וקטור בסקלר היא אחת הפעולות הבסיסיות המאפיינות מרחב וקטורי (ובאופן כללי יותר: מודול). כפל וקטור בסקלר שונה ממכפלה סקלרית, שהיא מכפלה פנימית בין שני וקטורים.

ביתר פירוט: אם K הוא שדה ו-V הוא מרחב וקטורי מעל K, כפל וקטור בסקלר הוא פונקציה מ- K × V אל V. התוצאה של הפעלת הפונקציה על  c \in K ועל  v \in V מסומנת \ cv .

כפל וקטור בסקלר מקיים את התכונות הבאות:

הסימן + בתכונות דלעיל מייצג חיבור בשדה או במרחב הווקטורי, בהתאם להקשר.

ניתן לראות כפל וקטור בסקלר כפעולת חבורה של השדה על המרחב הווקטורי. אינטרפרטציה גאומטרית של כפל וקטור בסקלר היא מתיחה או כיווץ של הווקטור.

כמקרה פרטי, ניתן לקחת את השדה K עצמו כמרחב הווקטורי V, ולקבל את פעולת הכפל בשדה.

הרעיון המתואר לעיל מתקיים גם כאשר K הוא חוג קומוטטיבי ו-V הוא מודול מעל K.

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • במרחב הווקטורי הסטנדרטי \mathbb{F}^n כפל בסקלר מוגדר לפי c(a_1,\ldots,a_n) = (ca_1,\ldots,ca_n). בפרט במרחב האוקלידי כפל בסקלר c הוא מתיחה או כיווץ של הווקטור בשיעור c. למשל 3(1,-2) = (3,-6).
  • במרחב הפונקציות הממשיות כפל בסקלר מוגדר כך שלכל x ממשי מתקיים (cf)(x) = c\cdot f(x).