לוגריתם טבעי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

לוגריתם טבעי הוא לוגריתם שבסיסו הוא הקבוע המתמטי e, שהוא מספר טרנסצנדנטי המתחיל בספרות 2.718281828. המונח הוכנס לשימוש לראשונה בשנת 1668 על ידי ניקולאוס מרקטור.

באופן הפשוט ביותר, הלוגריתם הטבעי מוגדר לכל מספר ממשי חיובי, ואינו מוגדר למספרים שליליים. עם זאת, ניתן להרחיב את ההגדרה בצורה אנליטית לכל המספרים המרוכבים שאינם 0, ובפרט גם למספרים שליליים (ראו פירוט בהמשך).

פונקציית הלוגריתם הטבעי
לוגריתם טבעי
סימול \ln x \,
הופכית e^x \,
נגזרת \frac{1}{x} \,
אינטגרל בלתי־מסוים x\ln x - x + C \,

הלוגריתם הטבעי מסומן בצורה (ln(x, אך בטקסטים מתמטיים גם הסימון log פירושו פעמים רבות loge.

פונקציית הלוגריתם הטבעית, עבור ערכים ממשיים, היא פונקציה הופכית של פונקציית אקספוננט. לפיכך מתקיים:

\ln(e^x) = x\,\!

ועבור x > 0\,\!:

e^{\ln(x)} = x\,\!

הלוגריתם לפי בסיס e קרוי "טבעי" משתי סיבות:

  • קל להגדירו כאינטגרל פשוט או כטור טיילור עם מקדמים רציונליים - מאפיין שנדיר בלוגריתמים לפי בסיס אחר.
  • פונקציית האקספוננט הטבעי- \ e^x מופיעה בתחומים שונים במתמטיקה הרבה יותר מהפונקציה \ 10^x, ובהתאם גם הפונקציה ההפוכה שהיא הלוגריתם הטבעי, יותר נפוצה מהלוגריתם עם בסיס עשר.

נדגים זאת באמצעות הנגזרת הבאה:

\frac{d}{dx}\log_b(x)=\frac{{\rm C}}{x}

רק כאשר בסיס הלוגריתם הוא e, יהיה הקבוע C בנגזרת זו שווה ל־1.

הגדרת הלוגריתם הטבעי[עריכת קוד מקור | עריכה]

פורמלית ניתן להגדיר את הלוגריתם הטבעי כאינטגרל הבא:

\ln(a)=\int_1^a \frac{1}{x}\,dx.

הנגזרת של הלוגריתם הטבעי ניתנת על ידי:

\frac{d}{dx}\ln(x)=\frac{1}{x}

מכאן נגיע לטור טיילור הבא:

\ln(1+x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} x^n\quad{\rm for}\quad \left|x\right|<1

את הלוגריתם ניתן להגדיר גם עבור מספרים מרוכבים, בצורה שתכליל את הגדרתו עבור מספרים ממשיים. אם מספר מרוכב נתון על ידי \ z=re^{i\phi} כאשר \ r הוא הערך המוחלט של המספר ו-\ \phi הארגומנט שלו, \ -\pi<\phi\le\pi , אז הלוגריתם שלו נתון על ידי \ \log(z)=\ln(r)+i(\phi +2\pi k) כאשר \ k\isin \mathbb{Z} .בהגדרה זו, הלוגריתם הוא פונקציה רב ערכית. רב ערכיות הפונקציה בעייתית, בין השאר, משום שהיא מונעת ממנה לשמש כהופכית לפונקציית המעריך הטבעי המרוכב (e^z). אם נרצה להפוך את הלוגריתם המרוכב לפונקציה חד ערכית, ניתן לנקוט באחת משתי דרכים:

  1. ניתן לצמצם את התמונה לערכים עם חלק מרוכב שחסום בין שני קבועים. בצורה הזו מקבלים את הפונקציה החד ערכית: \ \log(z)=\ln(r)+i\phi כאשר \phi \in [a , a+2\pi ]. בדרך כלל קובעים את a להיות 0, ואז פונקציית הלוגריתם לא רציפה על המספרים הממשיים החיוביים. החלק המרוכב שלה "קופץ" מ- 2\pi ל-0: לכל  \ x,h>0 ממשיים מתקיים \lim_{h\to 0}[ \ln (x-ih)-\ln (x+ih)]=2\pi i ).
  2. אם התחום שעליו אנו רוצים להגדיר את הפונקציה אינו "מקיף" את האפס - כלומר, קיימת קרן היוצאת מהראשית ומגיעה לאינסוף ולא חותכת את התחום שלנו, אז ניתן להגדיר את הלוגריתם הטבעי בצורה חד ערכית ורציפה על כל התחום. גם כאן ניתן להגדיר את הלוגריתם בצורה יחידה, עד כדי הזזה של \ 2 \pi i.

שימושים[עריכת קוד מקור | עריכה]

משפט המספרים הראשוניים קובע כי כמות המספרים הראשוניים הקטנים ממספר נתון x שווה בקירוב ל-\frac{x}{\ln(x)}.

גם לסכום של סדרה הרמונית יש קשר ל-e: \lim_{n \to \infty} \left( \sum_{k=1}^n \frac {1}{k} - \ln(n) \right)= \gamma כאשר גמא הוא קבוע אוילר-מסקרוני שהוא בערך 0.57721566490153286.