מאורע (הסתברות)

בתורת ההסתברות, מאורע הוא מצב שניתן לייחס לו הסתברות.

הגדרה פורמלית

בהינתן מרחב הסתברות $\ \left( \Omega , \mathbb{F} , P \right)$ תת קבוצה של מרחב המדגם $\ E \subseteq \Omega$ המקיימת $\ E \in \mathbb{F}$ נקראת מאורע. קבוצת כל המאורעות $\ \mathbb{F}$ נקראת שדה המאורעות והיא סיגמא-אלגברה.

לפי אקסיומות ההסתברות לכל מאורע $\ E$ מתקיים תמיד $\ 0\le P(E)\le 1$.

דוגמה

נבחן את המקרה של הטלת קובייה הוגנת. מרחב המדגם של הטלת קובייה הוא המרחב האחיד {1,2,3,4,5,6}. כל תת-קבוצה של קבוצה זו הוא מאורע. בעזרת העובדה שלכל תוצאה בהטלת קובייה יש סיכוי 1/6 לצאת ובזכות הסיגמא-אדיטיביות של פונקציית ההסתברות נוכל לחשב את ההסתברות לכל מאורע:

• המאורע "תוצאת ההטלה היא 6" הוא הקבוצה {6} וההסתברות שלו היא 1/6.
• המאורע "תוצאת ההטלה זוגית" הוא הקבוצה {2,4,6} וההסתברות שלו היא 1/2.
• המאורע "תוצאת ההטלה היא 7" הוא הקבוצה הריקה (כי 7 אינו במרחב מדגם) וההסתברות שלו היא 0.
• המאורע "תוצאת ההטלה היא מספר" הוא הקבוצה {1,2,3,4,5,6} שהיא מרחב המדגם כולו וההסתברות שלו היא 1.

תכונות

כאשר מרחב המדגם הוא בדיד (דיסקרטי), כלומר הוא סופי או בן מנייה, מספיק להגדיר את ההסתברות לכל מאורע שהוא יחידון כדי להגדיר את ההסתברות של כל תת-קבוצה של מרחב המדגם. על כן במרחב שכזה שדה המאורעות הוא קבוצת החזקה של מרחב המדגם. לעומת זאת, במרחבים אחרים כגון הישר הממשי לא קיימת פונקציית מידה המוגדרת לכל תת-קבוצה של המרחב ולכן קיימות תת-קבוצות שלא ניתן לייחס להן הסתברות (שהיא פונקציית מידה) ולא כל תת-קבוצה היא מאורע.

לכל מאורע $\ E$ קיים מאורע משלים $\ \overline E$ שהוא קבוצת המשלים של המאורע ביחס למרחב המדגם. מהגדרת פונקציית ההסתברות נקבל כי $\ P(\overline E) = 1-P(E)$.

זוג מאורעות A,B נקראים מאורעות בלתי תלויים אם מתקיים $\ P(A\cap B) = P(A) \cdot P(B)$. המשמעות היא שהתרחשות אחד איננה משפיעה על התרחשות השני. אם השוויון לא מתקיים המאורעות נקראים מאורעות תלויים.

בהינתן שני מאורעות A,B ניתן להגדיר את ההסתברות המותנית $\ P(A\,|\,B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)}$. הסתברות זו משקפת את הסיכוי שמאורע A ייתרחש בהינתן ש-B התרחש.