מבחן לוקאס-להמר למספרי מרסן

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

במתמטיקה, מבחן לוקאס להמר הוא מבחן ראשוניות למספרי מרסן. המבחן פותח במקור בידי אדוארד לוקאס ב-1878 ולאחר מכן שופר בידי דריק הנרי להמר בשנות השלושים. על-שם אותם שני מתמטיקאים קרוי גם מבחן ראשוניות כללי, מבחן לוקאס-להמר.

המבחן[עריכת קוד מקור | עריכה]

נתונים מספר ראשוני 2<p, ומספר מרסן המתאים לו, \ M=2^p-1. המשימה היא לבדוק האם M ראשוני. נגדיר סדרה \ s_i ברקורסיה: \ s_0=4, ולכל \ i>0 מוגדר \ s_i=s_{i-1}^2-2.

משפט. המספר M הוא ראשוני אם ורק אם \ s_{p-2}\equiv 0\pmod{M}.

זהו מבחן יעיל ביותר, והוא משמש עד היום לבדיקת ראשוניות של מספרי מרסן. החישוב מבוצע כולו מודולו M, ודורש כ- p פעולות של העלאה בריבוע. בכתיב בינארי אלו פעולות מהירות יחסית: הריבוע האמיתי של מספר מתקבל מסיכום ההזזות שלו כלפי מעלה, וחישוב השארית מודולו M מהיר במיוחד מכיוון ש- \ 2^p\equiv 1 \pmod{M}, כך שתוצאת ההעלאה בריבוע מודולו M היא סכום שתי המחציות בריבוע שהתקבל. בסך הכול מדובר בכ- \ p^3 \approx (\log(M))^3 פעולות בינאריות, הישג חסר תחרות בין מבחני הראשוניות השונים.

תמצית הוכחת המשפט[עריכת קוד מקור | עריכה]

נסתפק כאן בסקירה של ההוכחה לכיוון אחד של המשפט: אם M ראשוני, אז \ s_{p-2}\equiv 0 \pmod{M}.

מכיוון ש- p איזוגי, \ 2^p-1\equiv 1\pmod{3} ולכן M הוא שארית ריבועית מודולו 3. אבל \ M\equiv -1 \pmod{4}, ולכן משפט ההדדיות הריבועית מבטיח כי 3 איננו שארית ריבועית מודולו M. מכיוון שכך, סיפוח השורש הריבועי x של 3 לשדה \ \mathbb{Z}/M\mathbb{Z} יוצר את השדה הסופי מסדר \ M^2. בשדה הזה, נסמן \ \alpha = 2+x.

כעת קל להווכח (באינדוקציה) ש- \ s_i = \alpha^{2^i}+\alpha^{-2^i}, ובסופו של דבר \ s_{p-2}=0 אם ורק אם \ \alpha^{2^{p-1}}=\alpha^{\frac{M+1}{2}}=-1. מכיוון שהשדה בעל מאפיין M, מתקיים \ \alpha^M=2^M+x^M=2+3^\frac{M+1}{2}x=2-x=\alpha^{-1}, כלומר \ \alpha^\frac{M+1}{2}=\pm 1. כדי להשלים חלק זה של ההוכחה, יש להראות שלשורש \ 2^{-\frac{3M-1}{4}}(1+x) של \ \alpha אין, בתורו, שורש ריבועי.

הכיוון ההפוך דומה, אלא שבמקום השדה בגודל \ M^2 יש לחשב בשדה בגודל \ Q^2 כאשר Q הוא גורם ראשוני של M שעבורו 3 איננו שארית ריבועית.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

לקריאה נוספת[עריכת קוד מקור | עריכה]

Richard Crandall and Carl Pomerance (2001). Prime Numbers: A Computational Perspective, 1st edition, Springer. ISBN 0387947779. Section 4.2.1: The Lucas-Lehmer test, pp.167–170.

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]