מבחן לוקאס-להמר למספרי מרסן

במתמטיקה, מבחן לוקאס להמר הוא מבחן ראשוניות למספרי מרסן. המבחן פותח במקור בידי אדוארד לוקאס ב-1878 ולאחר מכן שופר בידי דריק הנרי להמר בשנות השלושים. על-שם אותם שני מתמטיקאים קרוי גם מבחן ראשוניות כללי, מבחן לוקאס-להמר.

המבחן

נתונים מספר ראשוני $2<p$, ומספר מרסן המתאים לו, $\ M=2^p-1$. המשימה היא לבדוק האם M ראשוני. נגדיר סדרה $\ s_i$ ברקורסיה: $\ s_0=4$, ולכל $\ i>0$ מוגדר $\ s_i=s_{i-1}^2-2$.

משפט. המספר M הוא ראשוני אם ורק אם $\ s_{p-2}\equiv 0\pmod{M}$.

זהו מבחן יעיל ביותר, והוא משמש עד היום לבדיקת ראשוניות של מספרי מרסן. החישוב מבוצע כולו מודולו M, ודורש כ- p פעולות של העלאה בריבוע. בכתיב בינארי אלו פעולות מהירות יחסית: הריבוע האמיתי של מספר מתקבל מסיכום ההזזות שלו כלפי מעלה, וחישוב השארית מודולו M מהיר במיוחד מכיוון ש- $\ 2^p\equiv 1 \pmod{M}$, כך שתוצאת ההעלאה בריבוע מודולו M היא סכום שתי המחציות בריבוע שהתקבל. בסך הכול מדובר בכ- $\ p^3 \approx (\log(M))^3$ פעולות בינאריות, הישג חסר תחרות בין מבחני הראשוניות השונים.

תמצית הוכחת המשפט

נסתפק כאן בסקירה של ההוכחה לכיוון אחד של המשפט: אם M ראשוני, אז $\ s_{p-2}\equiv 0 \pmod{M}$.

מכיוון ש- p איזוגי, $\ 2^p-1\equiv 1\pmod{3}$ ולכן M הוא שארית ריבועית מודולו 3. אבל $\ M\equiv -1 \pmod{4}$, ולכן משפט ההדדיות הריבועית מבטיח כי 3 איננו שארית ריבועית מודולו M. מכיוון שכך, סיפוח השורש הריבועי x של 3 לשדה $\ \mathbb{Z}/M\mathbb{Z}$ יוצר את השדה הסופי מסדר $\ M^2$. בשדה הזה, נסמן $\ \alpha = 2+x$.

כעת קל להווכח (באינדוקציה) ש- $\ s_i = \alpha^{2^i}+\alpha^{-2^i}$, ובסופו של דבר $\ s_{p-2}=0$ אם ורק אם $\ \alpha^{2^{p-1}}=\alpha^{\frac{M+1}{2}}=-1$. מכיוון שהשדה בעל מאפיין M, מתקיים $\ \alpha^M=2^M+x^M=2+3^\frac{M+1}{2}x=2-x=\alpha^{-1}$, כלומר $\ \alpha^\frac{M+1}{2}=\pm 1$. כדי להשלים חלק זה של ההוכחה, יש להראות שלשורש $\ 2^{-\frac{3M-1}{4}}(1+x)$ של $\ \alpha$ אין, בתורו, שורש ריבועי.

הכיוון ההפוך דומה, אלא שבמקום השדה בגודל $\ M^2$ יש לחשב בשדה בגודל $\ Q^2$ כאשר Q הוא גורם ראשוני של M שעבורו 3 איננו שארית ריבועית.

ראו גם

• מבחן לוקאס-להמר הכללי
• סדרת לוקאס

לקריאה נוספת

Richard Crandall and Carl Pomerance (2001). Prime Numbers: A Computational Perspective, 1st edition, Springer. ISBN 0387947779. Section 4.2.1: The Lucas-Lehmer test, pp.167–170.

קישורים חיצוניים

• מבחן לוקאס-להמר למספרי מרסן, באתר MathWorld (באנגלית)

• GIMPS (The Great Internet Mersenne Prime Search)
• A proof of Lucas-Lehmer test