מבחני התכנסות לטורים

במתמטיקה, ישנם מבחנים שמטרתם לבדוק האם טור אינסופי מתכנס למספר סופי. מבחנים אלו אינם מראים מהו סכום הטור, אלא רק מכריעים בשאלת ההתכנסות. ההגדרה הפורמלית להתכנסות טור היא שסדרת הסכומים החלקיים מתכנסת.

על התכנסות הטור משפיע רק זנבו, כלומר ניתן להוריד מספר סופי של איברים מתחילת הטור מבלי לשנות את התכנסותו (אך תוך שינוי של הסכום שאליו יתכנס). על כן אין צורך שדרישות המבחנים יתקיימו עבור כל אברי הטור, אלא רק עבור כל האיברים החל ממקום מסוים.

תנאי הכרחי להתכנסות טורים

תנאי הכרחי להתכנסות טורים הוא שהאיבר הכללי מתכנס ל-0 כאשר $\ n\to \infin$.

דוגמה

הטור $\sum_{n=1}^\infty \cos(1/n)$ הנו טור מתבדר מכיוון שהאיבר הכללי שלו אינו מתכנס ל-0.

התנאי אינו מספיק, כפי שמדגים הטור ההרמוני שמתבדר.

טורים חיוביים

טורים חיוביים, כלומר טורים שכל אבריהם לא שליליים, ניחנים בתכונה החשובה שסדרת הסכומים החלקיים שלהם היא סדרה מונוטונית עולה. מכיוון שכל סדרה מונוטונית עולה מתכנסת אם היא חסומה, כל שצריך להראות הוא שהסכומים החלקיים של הטור חסומים. עובדה זו מהווה בסיס למספר מבחנים. אם חיובי אינו חסום, הוא מתבדר לאינסוף.

מבחן ההשוואה

מבחן ההשוואה הוא הכלי הבסיסי לבחינת התכנסות טורים, ומסתמך על השוואת הטור הנבדק לטור אחר, שכבר ידוע עליו אם הוא מתבדר או מתכנס.

ההשוואה הלא גבולית

יהיו $\sum_{n=1}^\infty a_n , \sum_{n=1}^\infty b_n$ שני טורים אינסופיים. אם מתקיים החל ממקום מסוים $0\le a_n \le b_n$, אז:

• אם $\sum_{n=1}^\infty b_n$ מתכנס, גם $\sum_{n=1}^\infty a_n$ מתכנס.
• אם $\sum_{n=1}^\infty a_n$ מתבדר, גם $\sum_{n=1}^\infty b_n$ מתבדר.

ההשוואה הגבולית

יהיו $\sum_{n=1}^\infty a_n , \sum_{n=1}^\infty b_n$ שני טורים חיוביים אינסופיים, שעבורם הגבול $\lim_{n \to \infty}\frac{a_n}{b_n}=L$ קיים. אז:

• אם $0<L<\infty$, הטורים מתכנסים ומתבדרים יחדיו.
• אם $\ L=0$, אם $\sum_{n=1}^\infty b_n$ מתכנס אז $\sum_{n=1}^\infty a_n$ מתכנס ואם $\sum_{n=1}^\infty a_n$ מתבדר אז $\sum_{n=1}^\infty b_n$ מתבדר (אבל ההיפך אינו בהכרח נכון).
• אם $L=\infty$ אם $\sum_{n=1}^\infty b_n$ מתבדר אז $\sum_{n=1}^\infty a_n$ מתבדר ואם $\sum_{n=1}^\infty a_n$ מתכנס אז $\sum_{n=1}^\infty b_n$ מתכנס (אבל ההיפך אינו בהכרח נכון).

מבחן השורש של קושי

יהי $\sum_{n=1}^\infty a_n$ טור חיובי אינסופי. נסמן $\limsup_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{a_n}=q$.

1. אם $\!\, q<1$ הטור מתכנס.
2. אם $\!\, q>1$ הטור מתבדר.
3. אם $\!\, q=1$ המבחן אינו מספק מידע על התכנסות או התבדרות הטור.

(בפרט, אם קיים $\!\, q<1$ כך שכמעט לכל האיברים בסדרה מתקיים $a_n\le q^n$, אז הטור מתכנס).

מבחן המנה של ד'אלמבר

יהי $\sum_{n=1}^\infty a_n$ טור חיובי אינסופי. נסמן $\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=q$.

1. אם $\!\, q<1$ הטור מתכנס.
2. אם $\!\, q>1$ הטור מתבדר.
3. אם $\!\, q=1$ המבחן אינו מספק מידע על התכנסות או התבדרות הטור.

(בפרט, אם קיים $\!\, q<1$ כך ש-$\frac{a_{n+1}}{a_n} \le q$ כמעט לכל איברי הסדרה, אז הטור מתכנס, ואם $\frac{a_{n+1}}{a_n} \ge 1$ כמעט לכל אברי הסדרה, אז הטור מתבדר).

מבחן ד'אלמבר חלש יותר ממבחן השורש של קושי. כלומר - מבחן השורש מכריע עבור כל טור שעבורו מבחן המנה מכריע, אבל מבחן המנה לא בהכרח מכריע עבור כל טור שעבורו מבחן השורש מכריע. עם זאת, במקרים רבים נוח יותר להשתמש במבחן המנה מאשר במבחן השורש.

מבחן האינטגרל

יהי $\ N$ מספר טבעי ו-$\ f$ פונקציה חיובית מונוטונית יורדת המוגדרת בקטע $[N,\infty)$, אזי סכום הסדרה החיובית $\sum_{n=N}^\infty f(n)$ מתכנס אם ורק אם האינטגרל $\int_N^\infty f(x)\,dx$ הוא סופי. בפרט, אם האינטגרל מתבדר אזי גם הטור מתבדר.

מבחן ראבה

יהי $\sum_{n=1}^\infty a_n$ טור חיובי אינסופי. נסמן $\lim_{n\rightarrow\infty}n\left(1-\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right)=q$.

1. אם $\!\, q>1$ הטור מתכנס.
2. אם $\!\, q<1$ הטור מתבדר.
3. אם $\!\, q=1$ המבחן אינו מספק מידע על התכנסות או התבדרות הטור.

מבחן זה הוא עידון של מבחן המנה, והוא עשוי להצליח במקום שמבחן המנה נכשל (למשל, בהוכחת ההתכנסות של הטור $\ \sum \frac{1}{n^2}$).

מבחן העיבוי

משפט

תהא $\!\, a_n$ סדרה חיובית שיורדת מונוטונית לאפס, אז הטור $\sum_{n=1}^\infty a_n$ מתכנס אם ורק אם $\sum_{n=1}^\infty 2^n\cdot a_{2^n}$ מתכנס. בלשון ציורית: די להחליף כל קבוצה של $\,2^n$ איברים ב-$\,2^n$ מופעים של האיבר הראשון (או האחרון) בקבוצה. הטור שיתקבל מתכנס ומתבדר יחד עם הטור המקורי. לעתים נקרא גם מבחן הדילול.

דוגמאות

נוכיח כי הטור $\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n\cdot \ln(n)}$ מתבדר. על פי מבחן העיבוי, טור זה מתכנס ומתבדר יחד עם הטור $\sum_{n=2}^\infty \frac{2^n}{2^n\cdot \ln(2^n)}$, ולאחר צמצום נקבל את הטור $\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n\cdot \ln2}$. כעת, באמצעות מבחן ההשוואה עם הטור $\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n}$ שידוע כי הוא מתבדר, נסיים את ההוכחה.

טורים כלליים

התכנסות בהחלט

נאמר על טור שהוא מתכנס בהחלט אם הטור של ערכיהם המוחלטים של איבריו מתכנס. טור מתכנס בהחלט הוא טור מתכנס, ולכן אם נתון טור לא חיובי, ניתן לבדוק האם הוא מתכנס בהחלט תוך שימוש במבחני השוואה לטורים חיוביים (כי הטור של ערכיו המוחלטים הוא טור חיובי), ומכך להסיק על התכנסותו. טור שמתכנס אך אינו מתכנס בהחלט נקרא מתכנס בתנאי. לטורים מסוג זה קיימים מבחני התכנסות נוספים.

מבחן לייבניץ

משפט

תהי $\!\, a_n$ סדרה חיובית שיורדת מונוטונית לאפס. אזי הטור המתחלף שנוצר על ידה $\sum_{n=1}^\infty (-1)^n \cdot a_n$ מתכנס.

זנב הטור,$r_n$, קטן תמיד בערכו המוחלט מגודל האיבר הראשון בו. כלומר: $| \sum_{n=m}^\infty (-1)^n \cdot a_n | \le a_m$. כמו כן מתקיים $(-1)^n \cdot r_n \geq 0$.

דוגמאות

נביט בטור ההרמוני המתחלף: $\sum_{n=1}^\infty (-1)^n \cdot \frac{1}{n}$. הסדרה $\!\, \frac{1}{n}$ היא סדרה חיובית מונוטונית יורדת לאפס, ולכן על פי מבחן לייבניץ, הטור מתכנס. כהערה צדדית נציין כי ניתן להוכיח שסכום טור זה הוא $\!\, -\ln 2$.

מבחן דיריכלה

משפט

תהי $\!\, a_n$ סדרה מונוטונית יורדת ושואפת לאפס ותהי $\!\, b_n$ סדרה שעבורה קיים מספר חיובי M כך שלכל N טבעי מתקיים $| \sum_{n=1}^N{b_n} | < M$ . בתנאים אלה הטור $\sum_{n=1}^\infty a_n \cdot b_n$ מתכנס.

מבחן דיריכלה מכליל את מבחן לייבניץ מבחינת הוכחת התכנסות הטור (אך ללא הערכת גודל השארית שכלול במשפט לייבניץ) שכן מבחן לייבניץ הוא המקרה הפרטי של מבחן דיריכלה כאשר $\!\, b_n = (-1)^n$.

מבחן אבל

משפט

תהי $\!\, a_n$ סדרה מונוטונית חסומה ויהי $\sum_{n=1}^\infty{b_n}$ טור מתכנס. אזי בתנאים אלה הטור $\sum_{n=1}^\infty a_n \cdot b_n$ מתכנס.