מבנה (מתמטיקה)

ערך זה עוסק במונח בלתי פורמלי. אם התכוונתם למונח פורמלי בלוגיקה מתמטית, ראו מבנה (לוגיקה מתמטית).

במתמטיקה, מבנה הוא מונח לא פורמלי המציין יחסים לא טריוויאליים (שאינם מתקיימים תמיד) בין איבריה של קבוצה. המבנה של קבוצה נותן לה משמעות וחשיבות, ובמידה מסוימת ניתן להגדיר את המתמטיקה כולה כתורה של חקר מבנים.

ניתן לאפיין את תחומי המתמטיקה השונים על פי סוג המבנים הנחקרים בהם. האלגברה עוסקת בחקר מבנים אלגבריים, מבנים בהם מוגדרת פעולה בין איברים; אנליזה מתמטית עוסקת בעיקר בחקר מרחבים מטריים, מבנים בהם מוגדר מרחק בין איברים; טופולוגיה עוסקת בחקר מרחבים טופולוגיים הכלליים יותר, בהם יש מובן לקרבה בין איברים; ואילו תורת המספרים מוקדשת ברובה לחקירתו של מבנה אחד ויחיד – חוג המספרים השלמים. תורת הקטגוריות ותורת הקבוצות עוסקות בחקר מבנים כלליים באשר הם.

דוגמה מוכרת למבנה היא קבוצת המספרים הטבעיים, לה מבנה עשיר המתבטא בפעולת החיבור והכפל והסדר הטוב המוגדרים על איבריה. אפשרי שעל קבוצה מסוימת יוגדר יותר ממבנה אחד בעל עניין ובתחומים שונים יבחרו להתרכז במבנים שונים של אותה קבוצה. למשל על קבוצת המספרים הממשיים ניתן לחשוב בין השאר כעל שדה (באלגברה מופשטת), כעל ישר (בגאומטריה), כעל מרחב מטרי שלם (בטופולוגיה) או כעל יריעה חלקה (בגאומטריה דיפרנציאלית). לעתים מבנה מעניין של קבוצות מסוימות מהווה תמריץ למציאת קבוצות נוספות בעלות מבנה דומה. כך למשל המבנה "מרחב וקטורי", הנחקר במסגרת האלגברה הלינארית, מוגדר על ידי חיקוי תכונותיו המוצלחות של המרחב האוקלידי, שבעצמו מוגדר על ידי חיקוי תכונותיהם של המישור הדו-ממדי ושל המרחב תלת-ממדי.

התאמה בין שתי קבוצות המראה שיש להן אותו מבנה נקראת איזומורפיזם, ויש לה חשיבות מתמטית רבה בפני עצמה. כאשר מבנה אחד מוכל בתוך מבנה אחר מאותו הסוג הוא נקרא תת-מבנה (למשל תת-חבורה).

מבנה המזכיר במידה מסוימת (לעתים באופן קלוש מאוד) את החלל התלת-ממדי נקרא מרחב. זהו הבדל סמנטי בלבד ואין לו משמעות מתמטית פורמלית.

בלוגיקה מתמטית מפרמלים את המונח מבנה כדי שניתן יהיה לעסוק בו באופן ריגורוזי.