מהלך חופשי ממוצע

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
מהלך תנועת חלקיק

בפיזיקה ובייחוד בתאוריה הקינטית ובפיזיקת מצב מוצק מהלך חופשי ממוצע של חלקיק (אטום, מולקולה, פוטון, פונון) הוא המרחק הממוצע שהחלקיק עובר בין התנגשויות עם חלקיקים אחרים. חישובי מוליכות קוונטית למשל במוליכים למחצה ובננואלקטרוניקה מתבססים על מושג יסודי זה.

הפיתוח המתמטי[עריכת קוד מקור | עריכה]

איור: צבר מטרות בעובי dx

נניח כי קרן חלקיקים נוריית דרך מטרות (צבועות באדום באיור) וננתח ריבוע בעל צלע L ועובי אינפיניטסימלי dx.

הנוסחה לחישוב הגודל של המהלך החופשי הממוצע תלויה במאפייני המערכת בה נמצא החלקיק. עבור חלקיק עם מהירות גבוהה ביחס לאוסף של חלקיקים זהים בעלי מיקום אקראי, מתקיים הקשר הבא:

\ell = (n\sigma)^{-1}

כאשר \ell הוא המהלך החופשי הממוצע, n הוא מספר החלקיקים ליחידת נפח (צפיפות) ו-σ הוא חתך הפעולה האפקטיבי להתנגשות. אם, מצד שני, המהירויות של החלקיקים הזהים הן בעלות התפלגות מקסוול של מהירויות, אזי הקשר הבא הוא התקף:

\ell = (\sqrt{2}\, n\sigma)^{-1} \,.

חתך פעולה של חלקיק הוא ה"שטח" האפקטיבי של המטרה בה החלקיק יכול להתנגש. שטח הבלוק הוא L^{2}. מספר המטרות הטיפוסי בבלוק הוא צפיפות המטרות n כפול נפח הבלוק L^{2}dx. ההסתברות שחלקיק יעצר בבלוק שווה לשטח הכולל של המטרות חלקי השטח הכולל של הבלוק.


P(\mathrm{stopping \ within\ dx}) = 
\frac{\mathrm{Area_{atoms}}}{\mathrm{Area_{slab}}} = 
\frac{\sigma n L^{2} dx}{L^{2}} = n \sigma dx

כאשר \sigma הוא השטח (או ליתר דיוק "חתך הפיזור" של החלקיקים).

הירידה בעוצמת קרן החלקיקים שווה לשטף הנכנס כפול ההסתברות שחלקיק יעצר בתוך הבלוק.


dI = -I n \sigma dx

זוהי משוואה דיפרנציאלית רגילה:


\frac{dI}{dx} = -I n \sigma \equiv -\frac{I}{\ell}

שפתרונה הוא I = I_{0} e^{-x/\ell}, כאשר x הוא המרחק שטייל החלקיק המוקרן דרך הבלוק ו  I_{0} הוא שטף החלקיקים ההתחלתי, לפני הפגיעה בבלוק.

\ell נקרא מהלך חופשי ממוצע כי הוא שווה למרחק הממוצע שמטייל החלקיק לפני שהוא נעצר בבלוק.

ההסתברות שהחלקיק יבלע בין x ל x+dx היא:

dP(x) = \frac{I(x)-I(x+dx)}{I_0} = \frac{1}{\ell} e^{-x/\ell} dx.

והתוצאה לפי ההגדרת ההסתברות מקיימת את הנוסחא:


\langle x \rangle \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  \int_0^\infty x dP(x) = \int_0^\infty \frac{x}{\ell} e^{-x/\ell} dx = \ell

ערכים אופיינים[עריכת קוד מקור | עריכה]

מהלך חופשי ממוצע לפוטון

בטבלה הבאה מובאים ערכים אופייניים עבור לחצים שונים.

תחום הריק לחץ ב-hPa מולקולות / cm3 מהלך חופשי ממוצע
ריק נמוך 300..1 1019..1016 0.1..100 μm
ריק בינוני 1..10-3 1016..1013 0.1..100 mm
ריק גבוה 10-3..10-7 1013..109 10 cm..1 km
ריק מאוד גבוה 10-7..10-12 109..104 1 km..105 km
ריק מאוד מאוד גבוה <10-12 <104 >105 km

דוגמאות ושימושים[עריכת קוד מקור | עריכה]

יישום קלאסי של מהלך חופשי ממוצע הוא הערכת גודלם של אטומים או מולקולות.

יישום חשוב נוסף הוא הערכת ההתנגדות של חומר באמצעות המהלך החופשי הממוצע של האלקטרונים בו.

לדוגמה, עבור גל קול המתפשט בחלל סגור, המהלך החופשי הממוצע הוא המרחק הממוצע אותו עובר הגל בין החזרות סמוכות מקירות החלל.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]