מוגדר היטב

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

במתמטיקה, הביטוי מוגדר היטב מתאר את האופן שבו בנויה הגדרה מתמטית - העשויה להיות בנויה כראוי, ולתאר את מה שהיא מתיימרת לתאר, או להיות רק מראית-עין של הגדרה, הכתובה על-פי כללי התחביר המתמטיים, ואינה מגדירה דבר.

בדרך כלל, הגדרה מתמטית מתייחסת ישירות לעצם המוגדר, ואינה טעונה בדיקה. למשל, "במספרים השלמים, העוקב של x הוא המספר x+1": מכיוון שבמערכת המספרים השלמים ניתן לחבר, הערך של x+1 מוגדר באופן חד-משמעי. עם זאת, ישנם מצבים שבהם ההגדרה מסתמכת על טענות סמויות, שאותן יש לוודא על-מנת שההגדרה תהיה תקפה. ישנם כמה מצבים שכיחים שבהם יש להשקיע מאמץ מסוים כדי להראות שהעצם שאותו רוצים להגדיר אכן מוגדר היטב.

בחירת נציגים[עריכת קוד מקור | עריכה]

לעתים, ישנן כמה אפשרויות להציג אובייקט מסוים, ואז אם רוצים לבצע על אובייקטים כאלה פעולה מסוימת, יש לוודא קודם לכן שהתוצאה אינה תלויה בנציגים שבוחרים. לדוגמה, אם נגדיר ש"הגובה של מספר רציונלי \ \frac{a}{b} הוא \ a+b". לכאורה, הוגדר כאן הגובה של כל מספר רציונלי. בפועל, מספר רציונלי איננו קובע את זוג המספרים a ו- b, משום שאפשר לצמצם ולהרחיב שברים, ולכן ההגדרה פגומה: הגובה של \ \frac{2}{3} = \frac{6}{9} הוא, כביכול, גם 5 וגם 15. זוהי תופעה כללית, המתרחשת כל אימת שמגדירים גודל מסוים עבור מחלקות שקילות של יחס שקילות באמצעות בחירה של נציגים. כדי להראות שהגודל מוגדר היטב, יש להוכיח שבחירת הנציגים אינה חשובה, ומתקבלת אותה תוצאה לכל נציג. למשל, כאשר מגדירים את החיבור של שברים לפי הנוסחה \ \frac{a}{b}+\frac{c}{d} = \frac{ad+bc}{bd}, יש לוודא שחיבור השברים \ \frac{\lambda a}{\lambda b} + \frac{\mu c}{\mu d}, לפי אותה נוסחה, יחזיר את אותו מספר רציונלי.

דוגמאות נוספות:

  • על מנת להגדיר חיבור, כפל והעלאה בחזקה על עוצמות, יש לוודא שהתוצאה אינה תלויה בבחירת הקבוצות שעוצמתן שוות לעוצמות הנתונות, עליהן מבצעים את הפעולה.
  • פונקציית הסינוס מוגדרת כיחס בין הניצב ליתר במשולש ישר-זווית. הפונקציה מוגדרת היטב ואינה תלויה בבחירת המשולש, כיוון שאם לשני משולשים אותן זוויות, אז הם דומים והיחס בין הצלעות הוא קבוע.

תכונות של אובייקט[עריכת קוד מקור | עריכה]

"אם G חבורה, יהי \ \phi: G \rightarrow G האוטומורפיזם המוגדר לפי \ \phi(g) = g^{-1}". לכל איבר \ g\in G, האיבר ההפוך \ g^{-1} קיים; אבל הנוסחה הזו עדיין אינה הופכת את \ \phi לאוטומורפיזם, אף על פי שההגדרה טוענת שזה האובייקט שהתקבל (ואכן, \ \phi אינו בהכרח אוטומורפיזם). במקרה כזה אפשר לומר "\ \phi מוגדר היטב משום ש- G חבורה אבלית" (תכונת האבליות של G אכן מבטיחה שהפונקציה תהיה אוטומורפיזם).

הנחת קיום סמויה[עריכת קוד מקור | עריכה]

"עבור מספר שלם n, נגדיר את המחצית השלמה של n להיות המספר השלם m המקיים \ 2m = n" - ברור שלא תמיד קיים מספר שלם כזה, ולכן ההגדרה פגומה. כך גם "השומר של מספר שלם n הוא המספר השלם הגדול ביותר שסכום ספרותיו, ועוד מספר ספרותיו, שווה ל- n" - אמנם קיים מספר כזה, אבל טענה זו אינה כה מובנת מאליה; לכן יש לבדוק שה"שומר" הוגדר היטב.