מודול אינג'קטיבי

בתורת החוגים, מודול אינג'קטיבי הוא מודול Q מעל חוג R, כך שלכל מודול M ותת-מודול N, כל הומומורפיזם מ-N ל-Q ניתן להרחבה כך שיהיה מוגדר על כל M. הדוגמה הקלאסית למודול כזה היא אוסף המספרים הרציונליים $\mathbb{Q}$ מעל חוג המספרים השלמים $\mathbb{Z}$.

חשיבותם של המודולים האלה נובעת מכך שלצד הקשר ההדוק שיש להם עם חוג המקדמים (המתבטא למשל בכך שכל מודול אינג'קטיבי הוא בפרט חליק), כל מודול מוכל במודול אינג'קטיבי מינימלי, הנקרא "הסגור האינג'קטיבי" שלו.

מבחינה קטגורית, מושגי האינג'טיביות והפרויקטיביות של מודולים דואליים זה לזה.

הגדרה

מודול שמאלי Q מעל חוג R הוא אינג'קטיבי אם הוא מקיים אחד התנאים השקולים הבאים:

• כל סדרה מדויקת מהצורה $0 \longrightarrow Q \longrightarrow M \longrightarrow N \longrightarrow 0$ מתפצלת.
• לכל מודול שמאלי M, אם Q הוא תת-מודול של M אז הוא מחובר ישר של M, כלומר קיים ל M תת-מודול N כך ש $\ Q\oplus N = M$.
• עבור R מודולים שמאליים X ו Y ופונקציה חח"ע $f:X\rightarrow Y$, כל פונקציה $g:X\rightarrow Q$ ניתנת להרחבה ל Y, כלומר קיימת פונקציה $h:Y\rightarrow Q$ כך ש $h \circ f = g$. לחלופין, אם השורה העליונה בדיאגרמה הבאה מדויקת, אז ניתן למצוא פונקציה h כך שהדיאגרמה תהיה קומוטטיבית

• קריטריון Baer: בהגדרה לעיל מספיק להניח ש-Y הוא החוג R, ו-X אידאל שמאלי שלו.
• הפונקטור $\ \operatorname{Hom}(-,Q)$ מקטגוריית ה R מודולים השמאליים לקטגוריית החבורות האבליות הוא פנקטור מדויק.

מודול אינג'טיבי ימני מוגדר באופן אנלוגי.

דוגמאות

1. מודול האפס תמיד אינג'קטיבי.
2. מעל שדה כל מודול הוא אינג'קטיבי, כפי שאפשר להוכיח על ידי השלמת בסיס לתת-מודול לבסיס של המודול כולו.
3. המודול $\mathbb{Q}$ של המספרים הרציונליים מעל החוג $\mathbb{Z}$ של השלמים הוא אינג'קטיבי. גם מודול המנה $\mathbb{Q}/ \mathbb{Z}$ הוא אינג'טיבי.

הקשר לתכונת החליקות

כל מודול אינג'קטיבי M הוא חליק: aM=M לכל a בחוג שאינו מחלק אפס ימני או שמאלי. מעל מחלקות מסוימות של חוגים, כגון מעל תחומי שלמות או באופן כללי יותר מעל כל תת-חוג של חוג עם חילוק, כל מודול חסר פיתול חליק הוא אינג'קטיבי. מעל תחום אידאלים שמאליים ראשי (PLID), כל מודול חליק הוא אינג'קטיבי.

הסגור האינג'קטיבי

כל מודול מעל חוג R ניתן לשיכון במכפלה ישרה של עותקים של המודול האינג'קטיבי $\ \operatorname{Hom}(R,\mathbb{Q}/\mathbb{Z})$.

לכל מודול M יש סגור אינג'קטיבי (injective hull) יחיד, שהוא מודול אינג'קטיבי אשר M תת-מודול עיקרי שלו. לדוגמה, הסגור האינג'קטיבי של השלמים (כחוג מעל עצמם) הוא מודול המספרים הרציונליים. הסגור האינג'קטיבי של חוג המטריצות 2x2 המשולשיות-עליונות מעל חוג עם חילוק D, הוא חוג כל המטריצות בגודל זה מעל החוג.

אפיון תכונות של חוגים באמצעות מודולים אינג'קטיביים

מכפלה ישרה של מודולים אינג'קטיביים היא אינג'קטיבית. מחובר ישר במודול אינג'קטיבי הוא אינג'קטיבי.

כל המודולים מעל R אינג'קטיביים אם ורק אם R חוג פשוט למחצה ארטיני (כלומר, סכום ישר סופי של מטריצות מעל חוגי חילוק); לשם כך מספיק שכל המודולים הציקליים מעל R יהיו אינג'קטיביים (Osofsky).

באופן כללי סכום ישר של מודולים אינג'קטיביים אינו בהכרח אינג'קטיבי. תכונה זו מתקיימת (למודולים שמאליים) אם ורק אם החוג נתרי (שמאלי). בדומה לזה, כל מודול אינג'קטיבי מתפרק לסכום ישר של מודולים אי-פריקים אם ורק אם החוג נתרי. כל מודול אינג'קטיבי מתפרק לסכום ישר של סגורים אינג'קטיביים של מודולים פשוטים, אם ורק אם החוג ארטיני.

באופן כללי תמונה הומומורפית של מודול אינג'קטיבי אינה בהכרח אינג'קטיבית. תכונה זו מתקיימת אם ורק אם החוג תורשתי. לכל מודול יש תת-מודול אינג'קטיבי גדול ביותר, אם ורק אם החוג תורשתי ונתרי.

חוג נקרא אינג'קטיבי לעצמו (self injective) אם הוא אינג'קטיבי כמודול מעל עצמו. כל מודול אינג'קטיבי הוא פרויקטיבי, אם ורק אם כל מודול פרויקטיבי הוא אינג'קטיבי, אם ורק אם החוג אינג'קטיבי לעצמו מימין ומשמאל וארטיני (חוג כזה נקרא חוג קוואזי-פרובניוס).

חוג R נקרא לא-סינגולרי (שמאלי) אם לכל איבר שונה מאפס x יש איבר שונה מאפס y, כך שאם ayx=0 אז ay=0. כל חוג כזה משוכן בחוג רגולרי פון-נוימן (החוג $\ \operatorname{End}(Q)$ כאשר Q הסגור האינג'קטיבי של R כמודול מעל עצמו). חוג לא-סינגולרי שהוא אינג'קטיבי לעצמו (שמאלי) הוא בעצמו רגולרי פון-נוימן.

כאשר R חוג קומוטטיבי, כל המודולים הפשוטים שלו אינג'קטיביים אם ורק אם הוא רגולרי פון-נוימן.

גרסאות חלשות של אינג'קטיביות

מודול Q הוא קוואזי-אינג'קטיבי, אם לכל תת-מודול שלו, N, כל הומומורפיזם מ-N ל-Q ניתן להרחבה כך שיהיה מוגדר על כל Q. כל מודול אינג'קטיבי הוא קוואזי-אינג'קטיבי, אבל ההיפך אינו נכון (החבורה הציקלית מסדר 4 קוואזי-אינג'קטיבית אבל לא אינג'קטיבית). כל מודול פשוט-למחצה הוא קוואזי-אינג'קטיבי. למודולים קוואזי-אינג'קטיביים יש חוג אנדומורפיזמים מעניין: רדיקל ג'ייקובסון שלו כולל את האנדומורפיזמים שהגרעין שלהם עיקרי, וחוג המנה ביחס אליו הוא רגולרי, אינג'קטיבי לעצמו, ואפשר להרים ממנו מערכות בנות-מניה של אידמפוטנטים אורתוגונליים בחזרה אל חוג האנדומורפיזמים. למודול קוואזי-אינג'קטיבי אי-פריק יש חוג אנדומורפיזמים מקומי יוניפורמי (היינו כל שני אידאלים שמאליים שונים מאפס - נחתכים). חוג האנדומורפיזמים של מודול קוואזי-אינג'קטיבי ולא-סינגולרי הוא רגולרי ואינג'קטיבי לעצמו.

מודול הוא skew-injective אם כל אנדומורפיזם של תת-מודול שלו, ניתן להרחבה לאנדומורפיזם של המודול כולו. כל מודול קוואזי-איג'קטיבי הוא skew-injective, וההיפך נכון עבור מודולים ארטיניים למחצה (מודול הוא ארטיני למחצה אם לכל מנה לא טריוויאלית שלו יש תת-מודול עיקרי שהוא פשוט למחצה).

תכונה חלשה עוד יותר נקראת $\pi$-אינג'קטיביות. מודול הוא $\pi$-אינג'קטיבי אם כל אנדומורפיזם אידמפוטנטי של תת-מודול שלו, ניתן להרחבה לאנדומורפיזם של המודול כולו. בחבורות אבליות, תכונה זו שקולה ל-skew-injectiveness. מודול הוא יוניפורמי (כל שני תת-מודולים שונים מאפס - נחתכים) אם ורק אם הוא אי-פריק ו-$\pi$-אינג'קטיבי. מעל חוג נתרי, כל מודול $\pi$-אינג'קטיבי הוא סכום ישר של מודולים יוניפורמיים. אם כל מודול מעל R הנוצר על ידי שני אברים הוא $\pi$-אינג'קטיבי, אז R פשוט למחצה ארטיני. אם כל מודול ציקלי מעל R הוא $\pi$-אינג'קטיבי, אז R הוא מכפלה ישרה של חוג פשוט למחצה ארטיני, וחוג יוניפורמי.

לקריאה נוספת

• Joseph J. Rotman, An Introduction to Homological Algebra
• The Concise Handbook of Algebra, C.21: Injective Modules, A.A.Tuganbaev.