מודול שטוח

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

במתמטיקה, ובמיוחד באלגברה הומולוגית, מודול שטוח מעל חוג R הוא מודול M מעל R, שעבורו פונקטור המכפלה הטנזורית ב-M הוא מדויק.

מרחבים וקטורים מעל שדה הם מודולים שטוחים. באופן כללי יותר, מודולים חופשיים, ואף מודולים פרויקטיבים הם מודולים שטוחים. מאידך, כל מודול שטוח הוא חסר פיתול. חוג הוא פון-נוימן רגולרי אם ורק אם כל המודולים מעליו שטוחים (משפט Harada-Auslander), ומושלם (אנ') אם ורק אם כל מודול שטוח הוא פרויקטיבי.

מודולים שטוחים הוגדרו לראשונה על ידי ז'ן-פייר סר (Serre) במאמרו המפורסם Géometrie Algébrique et Géométrie Analytique, אשר יצא לאור בשנת 1956.

מבוא והגדרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

יהי M מודול (שמאלי) מעל החוג R. לכל מודול (ימני) N אפשר לבנות את המכפלה הטנזורית \ M \otimes_R N, שהיא החבורה האבלית הנוצרת על ידי הסמלים הפורמליים \ m \otimes n (כאשר \ m \in M, \, n\in N), המקיימים כמה חוקים טבעיים. אם \ N \subseteq N', מוגדרת העתקה \ M \otimes_R N \rightarrow M \otimes_R N' הרואה כל סמל \ m \otimes n כאילו הוא חי ב-\ M \otimes_R N'.

התהליך הזה עלול להיות הרסני: למשל, מעל חוג השלמים \ \mathbb{Z}, אם \ M = \mathbb{Z}/a\mathbb{Z}, אז המכפלה \ M \otimes N שווה למודול המנה \ N / a N. אם נתבונן בהכלה \ N = \mathbb{Z} \subseteq \mathbb{Q} = N', נגלה שהמנה \ N/aN היא חבורה בת a אברים, בעוד שהמנה \ N'/aN' שווה לאפס, כך שאין הכלה \ M \otimes N \subseteq M \otimes N'. היכולת הזו להרוס הכלות משתקפת במבנה של המודול M, ובמקרה זה היא באה לידי ביטוי בכך שהוא מפותל. במקרים אחרים (למשל, אם M חופשי) מובטח שהמכפלה הטנזורית ב-M תשמור על הכלה. בגלל חשיבותה של התכונה הזו, הציע סר מונח מיוחד למודולים M שעבורם

  • אם \ N \subseteq N', אז ההעתקה \ M \otimes_R N \rightarrow M \otimes_R N' היא שיכון (לכל N ולכל 'N):

מודול M המקיים תכונה זו נקרא מודול שטוח.

תכונות יסודיות[עריכת קוד מקור | עריכה]

כדי שהמודול M יהיה שטוח מעל R, די בכך שההעתקה \ M \otimes_R N \rightarrow M \otimes_R N' היא שיכון לכל \ N \subseteq N' שהם אידאלים שמאליים נוצרים סופית של R. כל תת-המודולים של M הם שטוחים אם ורק אם כל תת-המודולים הנוצרים סופית הם שטוחים.

הגדרה קטגורית[עריכת קוד מקור | עריכה]

יהי R חוג קומוטטיבי, ויהי M מודול מעל R. נגדיר פונקטור מהקטגוריה של מודולים מעל R לעצמה על ידי \,F(N) = M \otimes_R N.

אפשר להראות כי הפונקטור F הוא מדויק מימין. כלומר, בהינתן סדרה מדויקת של R-מודולים \,0 \to N_1 \to N_2 \to N_3 \to 0, הפעלת F על הסדרה תיתן סדרה מדויקת \,M\otimes_R N_1 \to M\otimes_R N_2 \to M\otimes_R N_3 \to 0. עם זאת, ההעתקה \,M\otimes_R N_1 \to M\otimes_R N_2 אינה מוכרחה להיות חד חד ערכית.

אם הפונקטור F הוא מדויק, נאמר כי M הוא R-מודול שטוח. לאור הדיון לעיל, M הוא שטוח אם ורק אם לכל העתקה חד חד ערכית \,N_1 \to N_2 של R-מודולים, ההעתקה המתקבלת על ידי מכפלה טנזורית עם M, \,M\otimes_R N_1 \to M\otimes_R N_2 היא חד חד ערכית. מן ההגדרה נובע שמעל חוג חלופי, מכפלה טנזורית של מודולים שטוחים היא שטוחה.

במקרה הכללי, כש-R אינו בהכרח חילופי, הפונקטור F דלעיל עדיין מוגדר על מודולים ומחזיר חבורות אבליות. למרות זאת, ההגדרה נשארת זהה - מודול M נקרא שטוח אם הפונקטור F כפונקטור מהקטגוריה של R-מודולים לקטגוריה של חבורות אבליות הוא פונקטור מדויק.

מתי כל המודולים שטוחים[עריכת קוד מקור | עריכה]

כאשר החוג קומוטטיבי, כל המודולים שטוחים אם ורק אם החוג הוא מצומצם (אין בו איברים נילפוטנטיים) וסריג תת-המודולים של כל מודול הוא דיסטריבוטיבי. גם ללא הנחת הקומוטטיביות, אם החוג מצומצמם וכל אידאל חד-צדדי הוא דו-צדדי, אז כל המודולים שטוחים אם ורק אם סריג תת-המודולים של כל מודול הוא דיסטריבוטיבי.

חוג R הוא רגולרי פון-נוימן אם ורק אם כל מודול שמאלי או ימני הוא שטוח, אם ורק אם לכל a, המודול \ R/Ra הוא שטוח.

הקשר לפרויקטיביות[עריכת קוד מקור | עריכה]

כל סכום ישר של מודולים שטוחים הוא שטוח, וכל מחובר ישר במודול שטוח הוא שטוח בעצמו.

כל מודול פרויקטיבי הוא שטוח. בפרט, כל מודול חופשי הוא שטוח. יתרה מזו, מעל חוג נתרי, כל מודול שטוח נוצר סופית הינו פרויקטיבי. המספרים הרציונליים, כמודול מעל השלמים, הם דוגמה למודול שטוח שאינו פרויקטיבי. אם R הוא חוג חילופי נתרי מקומי, אז כל מודול שטוח נוצר סופית מעל R הוא מודול חופשי.

עבור מודול שיש לו כיסוי פרויקטיבי (היינו, הוא מנה של מודול פרויקטיבי ביחס לגרעין קטן), המודול שטוח אם ורק אם הוא פרויקטיבי. באופן כללי מודול שטוח עם הצגה סופית הוא פרויקטיבי [1]. אם R תת-חוג (עם יחידה) של חוג פשוט למחצה, אז כל מודול נוצר סופית שטוח מעליו הוא פרויקטיבי. כך גם אם R מקומי למחצה עם הרמת אידמפוטנטים מ-\ R/J(R). כל המדולים השטוחים מעל חוג הם פרויקטיביים, אם ורק אם הוא מקומי למחצה ולכל סדרה \ a_1,a_2,\dots יש n כך ש-\ a_1a_2\cdots a_n=0.

אינג'קטיביות[עריכת קוד מקור | עריכה]

המודול M מעל R הוא שטוח אם ורק אם \ \operatorname{Hom}_{\Z}(M,\mathbb{Q}/\mathbb{Z}) אינג'קטיבי מעל R. כל מודול שמאלי שטוח הוא אינג'קטיבי אם ורק אם כל כל מודול ימני שטוח הוא אינג'קטיבי, אם ורק אם החוג ארטיני ואינג'קטיבי.

הקשר לפיתול[עריכת קוד מקור | עריכה]

כל מודול שטוח הוא חסר פיתול.

מעל חוג השלמים Z, מודול הוא שטוח אם ורק אם הוא חסר פיתול. לתחום שלמות יש התכונה הזו (שכל מודול חסר פיתול הוא שטוח) אם ורק אם הוא תחום פרופר (היינו תחום שלמות שבו כל האידאלים הנוצרים סופית הם הפיכים).

מודול שמאלי M נקרא חסר-פיתול לפי האטורי (Hattori torsion-free, להלן חפ"ה) אם כל אימת ש- am=0 (עבור m במודול וסקלר a) אפשר לכתוב \ m = a_1m_1+\cdots+a_nm_n כאשר \ aa_1=\cdots=aa_n=0. כל מודול כזה הוא חסר פיתול. את הפיתול לפי האטורי אפשר לאבחן בעזרת אידאלים ראשיים: מודול הוא חפ"ה, אם ורק אם לכל a בחוג, ההעתקה הטבעית \ Ra \otimes M \rightarrow aM היא איזומורפיזם. בפרט, כל מודול שטוח הוא חפ"ה. לכן מחלקת המודולים חסרי הפיתול לפי האטורי היא מחלקת ביניים, הכוללת את כל המודולים השטוחים, ומוכלת בזו של המודולים חסרי הפיתול. מודול הוא שטוח אם ורק אם הוא חפ"ה ומתקיים \ (B \cap B')M = BM \cap B'M לכל שני אידאלים (נוצרים סופית) ימניים \ B,B'\leq_r R.

מעל חוגים המקיימים את תכונת בזו מימין (כל אידאל נוצר סופית הוא ראשי): מודול הוא שטוח אם ורק אם הוא חפ"ה; אם החוג מצומצם אז כל תת-מודול של מודול שטוח הוא שטוח; אם אין בחוג מחלקי אפס, מודול הוא שטוח אם ורק אם הוא חסר פיתול.

מיקום, גבולות ומכפלות ישרות[עריכת קוד מקור | עריכה]

מעל חוגים נתריים שטיחות היא תכונה מקומית, כלומר מודול M מעל חוג חילופי R הוא שטוח אם ורק אם לכל אידאל ראשוני \,p \in Spec R, המיקום \,M_p שטוחה מעל \,R_p.

מודול הוא שטוח אם ורק אם הוא מתקבל כגבול ישר של מודולים חופשיים נוצרים סופית. אין בכך מגבלה על גודלו של מודול שטוח, שכן כל מודול הוא גבול ישר של אוסף כל תת-המודולים הנוצרים סופית שלו.

כל מכפלה ישרה של מודולים שטוחים היא מודול שטוח, אם ורק אם כל מכפלה ישרה של עותקים של החוג היא שטוחה, אם ורק אם החוג הוא "קוהרנטי" מימין (כלומר: לכל אידאל ימני נוצר סופית יש הצגה סופית). כל תת-מודול (שמאלי) של כל מכפלה ישרה של עותקים של החוג הוא שטוח, אם ורק אם כל אידאל ימני נוצר סופית הוא פרויקטיבי.

רזולוציות שטוחות ומכפלה טנזורית נגזרת[עריכת קוד מקור | עריכה]

בהינתן מודול M, רזולוציה שטוחה שלו היא קומפלקס מדויק P אשר מורכב ממודולים שטוחים, המרוכז בדרגות שליליות, ביחד עם קוואזיאיזומורפיזם \,P \to M.

בעזרת רזולציות שטוחות ניתן להגדיר את הפונקטור הנגזר משמאל של פונקטור המכפלה הטנזורית: לכל מודול M נבחר רזולוציה שטוחה \,P_M. בהינתן זוג מודולים M, N מעל חוג חילופי R, המכפלה הטנזורית הנגזרת שלהם מוגדרת להיות \,M\otimes^L_R N = P_M \otimes_R N. בניה זו תלויה לכאורה בבחירת הרזולוציה השטוחה, אך ניתן להראות כי בחירת רזולוציה אחרת תוביל לקומפלקס קוואזיאיזומורפי. ההומולוגיות של המכפלה הטנזורית הנגזרת שוות לפונקטור Tor.

קומפלקסים K-שטוחים[עריכת קוד מקור | עריכה]

ניתן להכליל את מושג המודול השטוח למקרה של קומפלקס שאינו חסום. לכל זוג קומפלקסים M וN מעל חוג R, מוגדרת המכפלה הטנזורית \,M \otimes_R N. אם הפונקטור \,F(N) = M \otimes_R N הוא מדויק, אומרים כי M הוא קומפלקס K-שטוח. אם M קומפלקס חסום מלמעלה אז הוא K-שטוח אם ורק אם כל אחד מהמודולים המרכיבים אותו הוא שטוח. באופן כללי, אם M קומפלקס K-שטוח כלשהו אז הוא קוואזי-איזומורפי לקומפלקס שכל המודולים המרכיבים אותו הם שטוחים, אך ההפך אינו נכון באופן כללי, כלומר ייתכן שקומפלקס שאינו חסום מלמעלה יהיה מורכב ממודולים שטוחים, אך הקומפלקס לא יהיה K-שטוח.

מעל חוג נתון, לכל קומפלקס קיימת רזולוציה K-שטוחה, כלומר קיים קומלפקס K-שטוח שהינו קוואזי-איזומורפי לו. בעזרת רזולציות אלו אפשר להרחיב את פונקטור המכפלה הטנזורית הנגזרת לכל הקטגוריה הנגזרת של קטגורית המודולים מעל חוג נתון, ללא הגבלת חסימות.

העתקות שטוחות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • הומומורפיזם של חוגים \,f:R \to S נקרא שטוח אם הוא הופך את S למודול חופשי מעל R. גרותנדיק הוכיח שכל העתקה חלקה פורמלית בין חוגים נתריים היא שטוחה. בפרט, כל העתקה אטל-פורמלית (Formally étale) (העתקת כיסוי אלגברית) היא שטוחה.
  • בפרט, לוקליזציה והשלמה הן העתקות שטוחות.
  • הנחת הנתריות הכרחית בהוכחת השטיחות להעתקות חלקות פורמלית. לדוגמה, יהי k שדה, ויהי \,k[\{t^q\}] חוג הפולינומים בחזקות רציונליות חיוביות של t. ניתן להראות כי ההעתקה \,k[\{t^q\}] \to k השולחת את t ל0 היא העתקה אטל-פורמלית, אך היא אינה העתקה שטוחה. דוגמה זו אינה סותרת את משפטו של גרותנדיק, משום שהחוג \,k[\{t^q\}] איננו חוג נתרי.

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. ^ D. Lazard, Autour de la platitude, Bull. Soc. Math. France 97 (1969), p.81--128