מומנט (הסתברות)

		יש לשכתב ערך זה. הסיבה לכך היא: כתוב כסיכום שיעור, מאוד טכני.
		אתם מוזמנים לסייע ולתקן את הבעיות, אך אנא אל תורידו את ההודעה כל עוד לא תוקן הדף. אם אתם סבורים כי אין בדף בעיה, ניתן לציין זאת בדף השיחה.	עריכה

מומנט (מסדר k) על פי ההגדרה הוא התוחלת של :

$m_k (X)= E(X^k) \!$

אך בדרך כלל מדברים על מומנט מרכזי:

$\mu_k (X)= E \left[ ( X - E[X] )^k \right] \!$

תכונות:

$\mu_k(X+b)=\mu_k(X)\!$

$\mu_k(aX)=a^k\mu_k(X)\!$

• מומנט מסדר אפס הוא 1 : $m_0 (X)= 1 \!$
• מומנט מסדר ראשון הוא התוחלת : $m_1 (X)= E(X) \!$
• מומנט מרכזי מסדר אפס הוא 1 : $\mu_0 (X)= 1 \!$
• מומנט מרכזי מסדר ראשון הוא 0 : $\mu_1 (X)= 0 \!$
• מומנט מרכזי מסדר שני הוא השונות  :$\mu_2 (X)= Var(X)\!$
• מומנט מרכזי מסדר שלישי חלקי סטיית תקן בשלישית הוא הצידוד: $\ \gamma_1 = \frac{\mu_3}{\sigma^3}$
• מומנט מרכזי מסדר רביעי חלקי סטיית התקן ברבעית פחות 3 הוא הגבנוניות: $\ \gamma_2 = \frac{\mu_4}{\sigma^4}-3$

עבור X ו Y משתניים אקראיים בלתי תלויים מתקיים:

$\mu_1(X+Y)=\mu_1(X)+\mu_1(Y)\!$

$\operatorname{Var}(X+Y)=\operatorname{Var}(X) + \operatorname{Var}(Y)$

$\mu_3(X+Y)=\mu_3(X)+\mu_3(Y)\!$

כמו כן, נהוג להגדיר מומנט מתוקן המוגדר כ: $\frac{\mu_k}{\sigma^k}$

המומנטים הם המקדמים בפיתוח לטור טיילור של פונקציה יוצרת מומנטים: $\ M_X(t) = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{E(X^k)}{k!}t^k$

ראו גם

• פונקציה יוצרת מומנטים