מונה מדיד

בתורת הקבוצות, מונה מדיד הינו סוג של מונה גדול.

הגדרה

• מונה κ ייקרא מונה מדיד אם κ אינו בן מניה, וקיים על מסנן κ-שלם לא ראשי על κ. קיימים אפיונים נוספים למונים מדידים: מונה κ הינו מונה מדיד אם ורק אם κ הינו נקודה קריטית של שיכון אלמנטרי $\ j: V \rightarrow M$.

• מונה κ ייקרא מונה מדיד ממשי (Real-valued measurable cardinal) אם κ אינו בן מניה, וקיימת מידה κ-אדיטיבית לא טריוויאלית על κ.

תכונות של מונים מדידים

• ההנחה שקיים מונה מדיד גוררת את שלילת אקסיומת הקונסטרוקטיביליות (דנה סקוט).

• כל מונה מדיד הינו בלתי נגיש. לכן, מונים מדידים נכללים בקטגוריה של מונים גדולים.

• יהי κ מונה מדיד, κ מקיים את תכונת העץ, לכן κ הינו מונה קומפקטי חלש.

• קבוצת המונים הבלתי נגישים הקטנים מ-κ הינה קבוצת שבת, לכן κ הינו מונה מאהלו (Mahlo).

קיום ועקביות

מאחר וכל מונה מדיד κ הינו בלתי נגיש, V_κ הינו מודל של ZFC. כתוצאה ממשפט האי שלמות השני של גדל, לא ניתן להוכיח את קיומם של מונים בלתי נגישים ב-ZFC, בפרט, לא ניתן להוכיח ב-ZFC את קיומם של מונים מדידים. כמו כן, לא ניתן להסיק את העקביות של ZFC+"קיים מונה מדיד" מתוך העקביות של ZFC.

לקריאה נוספת

• Set theory, third millennium edition - Thomas Jech, Springer 2002
• The Higher Infinite : Large Cardinals in Set Theory from Their Beginnings, 2nd ed - Akihiro Kanamori, Springer 2003