מחלקה (תורת החבורות)

בתורת החבורות, מחלקה או קוֹסֵט (coset) של תת-חבורה $\ H$ היא קבוצה של איברי חבורה $\ G$ המכילה את $\ H$, אשר מתקבלים מהכפלת אברי $\ H$ באיבר קבוע של החבורה. אוסף המחלקות של תת-חבורה $\ H$ מהווה חלוקה של $\ G$ לקבוצות שוות בעוצמתן. מספר המחלקות הימניות (או השמאליות) של תת-חבורה H בחבורה G נקרא האינדקס של H ב G, ומסומן $\ [G:H]$. אם G סופית, אינדקס זה שווה ל-$\ [G:H] = \frac{|G|}{|H|}$.

הגדרה פורמלית

תהא $\ G$ חבורה ותהא $\ H\subseteq G$ תת-חבורה שלה. יהא $\ g\isin G$ איבר כלשהו, אז הקבוצה $\ gH=\left\{gh|h\isin H\right\}$ תיקרא מחלקה ימנית (או קוסט ימני) של $\ H$ ב-$\ G$, והקבוצה $\ Hg=\left\{hg|h\isin H\right\}$ תיקרא מחלקה שמאלית (או קוסט שמאלי) של $\ H$ ב-$\ G$.

תכונות

קל להוכיח כי כל שתי מחלקות (ימניות, וכל שתי מחלקות שמאליות) שונות הן זרות, כלומר: לכל תת-חבורה $\ H$, המחלקות (מאותו צד) של $\ H$ מהוות חלוקה של $\ G$ לקבוצות זרות.

הוכחה: אם $\ x \in g_1 H \cap g_2 H$ אז לפי הגדרה קיימים $\ h_1, h_2$ כך ש $\ x =g_1 h_1 = g_2 h_2$ ולכן $\ g_1 = g_2 h_2 h_1^{-1}$. מכיוון ש $\ h_2 h_1^{-1} \in H$, נובע ש $g_1 \in g_2 H$, ולכן $\ g_1 H = g_2 H$. הוכחנו כי אם שתי מחלקות נחתכות אז הן בהכרח שוות, ולכן המחלקות של H מהוות חלוקה של G. לכן, היחס "להיות שייך לאותה מחלקה" מהווה יחס שקילות.

בנוסף, מספר האיברים בכל מחלקה של תת-חבורה $\ H$ שווה למספר האיברים ב-$\ H$. במקרה של חבורות אינסופיות, עוצמת המחלקות שווה. מכאן נובע משפט לגראנז': הסדר של כל חבורה סופית מתחלק בסדר תתי החבורות שלה.

נורמליות

אם לתת חבורה מסוימת $\ H$מתקיים $\forall g\,, gH=Hg$, כלומר - המחלקות הימניות שוות למחלקות השמאליות החבורה נקראת תת חבורה נורמלית. לתת חבורות נורמליות יש חשיבות רבה בתורת החבורות, כיוון שהן מאפשרות להגדיר חבורת מנה.

דוגמה

ניקח את החבורה $\ (\mathbb{Z},+)$, כלומר חבורת השלמים עם פעולת החיבור. $\ 4\mathbb{Z}$ היא תת-חבורה שלה - כל השלמים המתחלקים ב-4 ללא שארית. לתת חבורה זו יש בדיוק 4 מחלקות: $\{4\mathbb{Z}, 1+4\mathbb{Z},2+4\mathbb{Z},3+4\mathbb{Z}\}$. נציגים לדוגמה מהמחלקה $1+4\mathbb{Z}$ הם 1, 5, 161, ו-3-. נציגים לדוגמה מהמחלקה $3+4\mathbb{Z}$ הם 3, 23 או 7. נשים לב גם כי זוהי חבורה אבלית, ולכן המחלקות הימניות שוות למחלקות השמאליות.