מטוטלת פוקו

ערך זה עוסק בניסוי פיזיקלי. אם התכוונתם לספרו של אומברטו אקו, ראו המטוטלת של פוקו (ספר).

מטוטלת פוקו בפנתיאון בפריז

מטוטלת פוקו או המטוטלת של פוקו הייתה מרכיב בניסוי שערך לאון פוקו בפריז ובו הדגים באמצעותה שכדור הארץ חג סביב צירו, ואת פעולת כוח קוריוליס - כוח מדומה הנובע מהימצאותנו במערכת לא אינרציאלית מסתובבת.

סיבוב כדור הארץ סביב צירו גורם למישור התנודה של המטוטלת להסתובב באיטיות, במהירות זוויתית ששוה למכפלת מהירות סיבוב כדור הארץ, בסינוס קו הרוחב של המקום בו מתבצע הסיבוב: בקטבים מישור התנודה ישלים סיבוב שלם ב-24 שעות, בפריס לוקח למישור הסיבוב לעשות הקפה בכ-32 שעות, ואילו בקו המשווה האפקט לא יורגש כלל. בישראל (קו רוחב 32°) המטוטלת משלימה סיבוב שלם כל 45 שעות.

בשנת 1851 ערך פוקו את הניסוי עם המטוטלת בפני הציבור בפנתיאון בפריז כאשר השתמש בכבל אשר אורכו 67 מטרים ואל קצהו מחובר כדור ברזל. על ניסוי זה ועל הגיית הגירוסקופ זכה פוקו לקבל את מדליית קופלי מהחברה המלכותית הבריטית בשנת 1855.

מטוטלות פוקו פזורות ברחבי העולם בעיקר במוזיאונים ובאוניבסיטאות. בישראל ניתן לצפות במטוטלת פוקו במספר מקומות, בהם משרדי חברת הפרסום גיתם-BBDO ברמת-גן, במדעטק בחיפה, במכון ויצמן למדע בבניין קימלמן, באוניברסיטת בן-גוריון בבניין הפקולטה לפיזיקה ובמצפה הכוכבים בגבעתיים.

ניתוח מתמטי

כאמור, סיבוב מישור התנודה של המטוטלת מוסבר על ידי כוח קוריוליס. בקירוב הזוויות הקטנות, המטוטלת מבצעת תנועה הרמונית במישור האופקי. תחת הקירוב, הכוח המחזיר שמפעילה הכבידה, נתון על ידי

$\ \vec{F^g}=-m\omega^2 \vec r$.

זאת כאשר $\ \omega=\sqrt\dfrac{g}{l}$ היא התדירות הזוויתית של תנודת המטוטלת. על מנת לחשב את השפעת כוח קוריוליס, יש לחשב את ההיטל שלו על המישור האופקי (תחת הקירוב, המטוטלת מוגבלת לנוע במישור האופקי). כוח קוריוליס נתון על ידי

אנימציה המתארת את תנועת המטוטלת. הקו הירוק מתאר את מסלול המטוטלת על הארץ, והקו הכחול מתאר את תנועת המשקולת במערכת המסתובבת יחד עם סיבוב מישור התנועה.

$\vec F^c=-2m\vec{\Omega}\times \dot{\vec r}$

זאת כאשר $\ \Omega$ היא המהירות הזוויתית של כדור הארץ. לשם נוחות, נגדיר כי ציר ה-x מכוון מזרחה, וציר ה-y מכוון צפונה.

את רכיב המהירות הזוויתית $\ \Omega$ יש לפרק ללמערכת הצירים המקומית שבה עושים את הניסוי. כלומר:

$\boldsymbol{ \omega} = \Omega \begin{pmatrix} 0 \\ \cos \lambda\\ \sin \lambda\end{pmatrix}\ ,$     $\boldsymbol{ v} = \begin{pmatrix} v_e \\ v_n \\ v_u \end{pmatrix}\ ,$

$\boldsymbol{ a}_C =-2\boldsymbol{\omega \times v}= 2\,\Omega\, \begin{pmatrix} v_n \sin \lambda-v_u \cos \lambda\\ -v_e \sin \lambda\\ v_e \cos\lambda\end{pmatrix}\ .$

כאשר:
v_e היא מהירות בכיוון מזרח מקומי
v_n היא מהירות בכיוון הצפון המקומי
v_u היא מהירות כלפי הקרקע
לאחר שמבצעים את המכפלה הווקטורית בין המהירות הזוויתית של כדור הארץ למהירות המקומית
(הכל במערכת צירים מקומית), מקבלים את הביטוי שרשום ב $\boldsymbol{ a}_C$

כעת מניחים כי המהירות האנכית זניחה (מטוטלת בזויות קטנות) , ואת המהירויות הנותרות רושמים כנגזרת של מיקום
$\dfrac{dy}{dt}=v_n$
$\dfrac{dx}{dt}=v_e$

כעת רושמים את הבטוי לכוח בכיוון מזרח וצפון, על ידי מכפלת התאוצות בכיוונים אלה במסת הגוף m

$F^c_x = 2 m \Omega \dfrac{dy}{dt} sin(\lambda)$

$F^c_y = - 2 m \Omega \dfrac{dx}{dt} sin(\lambda)$

כאשר $\ \lambda$ הוא קו הרוחב שבו אנו נמצאים. בשקלול עם הכוח המחזיר והחוק השני של ניוטון, נקבל את מערכת המשוואות:

$\left\{ \begin{array}{ll} \dfrac{d^2x}{dt^2} = -\omega^2 x + 2 \Omega \dfrac{dy}{dt} sin(\lambda)\\ \dfrac{d^2y}{dt^2} = -\omega^2 y - 2 \Omega \dfrac{dx}{dt} sin(\lambda) \end{array}\right.$

זוהי מערכת משוואות מצומדות, והיא קשה לפתרון ישיר. נגדיר משתנה מרוכב חדש $z=x+iy$, ולאחר הכפלת המשוואה התחתונה ב $\ i$ וחיבור המשוואות, תתקבל המשוואה הפשוטה

$\ \dfrac{d^2z}{dt^2}+2i\Omega\sin\lambda \frac{dz}{dt} +\omega^2z=0$, שפתרונה הוא

$\ z(t)=e^{i \Omega \sin\lambda t} \cdot e^{\pm i\sqrt{\omega^2-(\Omega\sin\lambda)^2}t}$

בקירוב $\Omega << \omega$ מתקבלת התוצאה הסופית:

$\ z=x+iy=e^{i \Omega \sin\lambda t}(Ae^{i\omega t}+Be^{-i\omega t})$.

הביטוי בסוגריים מבטא תנועה הרמונית בתדירות $\omega$, והביטוי $\ e^{i \Omega \sin\lambda t}$ הוא סיבוב מישור התנועה בתדירות $\ \Omega\sin\lambda$. אם נעבוד ביחידות זמן של ימים, אז $\Omega=\frac{2\pi}{1_{day}}=2\pi$, ונבחין כי מישור התנועה משלים סיבוב שלם כל $T=\frac{2\pi}{\Omega\sin\lambda}=\frac{1}{ \sin\lambda}$ ימים. בישראל, שבה $\lambda\approx 32^\circ$, המטוטלת משלימה סיבוב שלם כל 45 שעות.

קישורים חיצוניים

• הסבר מקיף על מטוטלת פוקו (אנגלית)

מיזמי קרן ויקימדיה
תמונות ומדיה בוויקישיתוף: מטוטלת פוקו