מטריצה אורתוגונלית

באלגברה לינארית, מטריצה אורתוגונלית היא מטריצה ריבועית המקיימת את התנאי $\ A^t A = A A^t = I$, כאשר $\ I$ היא מטריצת היחידה, ו- $\ A^t$ היא המטריצה המשוחלפת של $\ A$. לכפל במטריצה כזו יש תכונה חשובה: הוא שומר על אורך של וקטורים, וגם על הזווית ביניהם.

העמודות של מטריצה אורתוגונלית מהוות בסיס אורתונורמלי למרחב הווקטורי שממדו כמספר עמודות המטריצה, עם המכפלה הפנימית הסטנדרטית.

חבורת המטריצות האורתוגונליות

אוסף המטריצות האורתוגונליות בגודל $\ n\times n$ מעל שדה F סגור לכפל, והוא מהווה חבורה אלגברית שמקובל לסמן ב- $\ O_n(F)$. מעל שדה המספרים הממשיים, $\ O_n(\mathbb{R})$ היא חבורה קומפקטית.

הדטרמיננטה של מטריצה אורתוגונלית היא $\ 1$ או $\ -1$. המטריצות האורתוגונליות בעלות דטרמיננטה 1 נקראות "מטריצות אורתוגונליות מיוחדות", והן מרכיבות את תת-החבורה $\ SO_n(F)$ של $\ O_n(F)$. בשדה ממאפיין שונה מ-2, $\ SO_n(F) \triangleleft O_n(F)$ היא תת-חבורה מאינדקס 2 (מעל שדה ממאפיין 2, שתי החבורות שוות). המטריצות הסקלריות האורתוגונליות הן $\ \pm I$, ומגדירים את חבורות המנה $\ PO_n(F) =O_n(F)/\langle-I\rangle$ ו- $\ PSO_n(F) = SO_n(F)/(\langle -I\rangle \cap SO_n(F))$.

המטריצה $\ -I$ שייכת ל- $\ SO_n(F)$ אם ורק אם n זוגי. לכן, כאשר n זוגי, ארבע החבורות $\ O_n, SO_n, PO_n, PSO_n$ שונות זו מזו, ואילו כאשר n איזוגי, $\ O_n \cong SO_n \times \langle -I \rangle$ ו- $\ PO_n \cong SO_n = PSO_n$.

המקרה n=2

מעל שדה המספרים הממשיים, $\ SO_2$ כוללת את מטריצות הסיבוב בכל זווית אפשרית. חבורה זו, שהיא אבלית, איזומורפית לחבורה המעגלית $\ S^1$ של המספרים המרוכבים בעלי נורמה 1, וגם לחבורת המנה $\ \mathbb{R}/\mathbb{Z}$. ליפוף כפול של המעגל (כלומר, זיהוי הקצוות $\ z \equiv -z$) נותן את אותה חבורה, ולכן $\ PSO_2(\mathbb{R}) \cong SO_2(\mathbb{R})$. החבורה $\ O_2(\mathbb{R})$ כוללת איבר נוסף, $\ \tau = \left(\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array}\right)$, המתאים לשיקוף סביב ציר ה-x, ואת כל המכפלות של $\ \tau$ בסיבובים. החבורה הזו אינה אבלית. גם כאן $\ PO_2(\mathbb{R}) \cong O_2(\mathbb{R})$.

מטריצות אוניטריות

מטריצה אורתוגונלית היא מטריצה אוניטרית מעל הממשיים. מטריצה אוניטרית $A \in M_n(\mathbb{F})$ מקיימת: $A^* A= I$ כאשר $A^*:=\overline{A^t}$ותכונה הנובעת מזה היא שעמודותיה ושורותיה פורשות את $\mathbb{F}^n$. הערה: $\mathbb{F} \in \begin{Bmatrix} \mathbb{R},\mathbb{C} \end{Bmatrix}$

תכונות של מטריצות אוניטריות

• $A\,$ מטריצה הפיכה ו-$A^{-1} = \overline{A}^T\,$
• מטריצה יוניטרית שומרת מכפלה פנימית: $\langle Ax,Ay \rangle = \langle x , A^{*}Ay \rangle = \langle x , Iy \rangle = \langle x,y \rangle$ (כאן נעזרנו בתכונות הצמוד ההרמיטי במכפלה פנימית)
• מטריצה יוניטרית שומרת על נורמה, $\ \| A x \| = \| x \|$. כתוצאה מכך, ערך מוחלט של כל ערך עצמי שלה הוא 1.
• אם A יוניטרית $A^*\,$ ו-$\overline{A}$ גם הן יוניטריות

ראו גם

• מטריצת סיבוב
• מטריצה יוניטרית

ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.