מטריצה אורתוגונלית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

באלגברה לינארית, מטריצה אורתוגונלית היא מטריצה ריבועית שרכיביה ממשיים המקיימת את התנאי \ A^t A = A A^t = I, כאשר \ I היא מטריצת היחידה, ו- \ A^t היא המטריצה המשוחלפת של \ A. לכפל במטריצה כזו יש תכונה חשובה: הוא שומר על אורך של וקטורים, וגם על הזווית ביניהם.

העמודות של מטריצה אורתוגונלית מהוות בסיס אורתונורמלי למרחב הווקטורי שממדו כמספר עמודות המטריצה, עם המכפלה הפנימית הסטנדרטית.

חבורת המטריצות האורתוגונליות[עריכת קוד מקור | עריכה]

אוסף המטריצות האורתוגונליות בגודל \ n\times n מעל שדה F סגור לכפל, והוא מהווה חבורה אלגברית שמקובל לסמן ב- \ O_n(F). מעל שדה המספרים הממשיים, \ O_n(\mathbb{R}) היא חבורה קומפקטית.

הדטרמיננטה של מטריצה אורתוגונלית היא \ 1 או \ -1. המטריצות האורתוגונליות בעלות דטרמיננטה 1 נקראות "מטריצות אורתוגונליות מיוחדות", והן מרכיבות את תת-החבורה \ SO_n(F) של \ O_n(F). בשדה ממאפיין שונה מ-2, \ SO_n(F) \triangleleft O_n(F) היא תת-חבורה מאינדקס 2 (מעל שדה ממאפיין 2, שתי החבורות שוות). המטריצות הסקלריות האורתוגונליות הן \ \pm I, ומגדירים את חבורות המנה \ PO_n(F) =O_n(F)/\langle-I\rangle ו- \ PSO_n(F) = SO_n(F)/(\langle -I\rangle \cap SO_n(F)).

המטריצה \ -I שייכת ל- \ SO_n(F) אם ורק אם n זוגי. לכן, כאשר n זוגי, ארבע החבורות \ O_n, SO_n, PO_n, PSO_n שונות זו מזו, ואילו כאשר n איזוגי, \ O_n \cong SO_n \times \langle -I \rangle ו- \ PO_n \cong SO_n = PSO_n.

המקרה n=2[עריכת קוד מקור | עריכה]

מעל שדה המספרים הממשיים, \ SO_2 כוללת את מטריצות הסיבוב בכל זווית אפשרית. חבורה זו, שהיא אבלית, איזומורפית לחבורה המעגלית \ S^1 של המספרים המרוכבים בעלי נורמה 1, וגם לחבורת המנה \ \mathbb{R}/\mathbb{Z}. ליפוף כפול של המעגל (כלומר, זיהוי הקצוות \ z \equiv -z) נותן את אותה חבורה, ולכן \ PSO_2(\mathbb{R}) \cong SO_2(\mathbb{R}). החבורה \ O_2(\mathbb{R}) כוללת איבר נוסף, \ \tau = \left(\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array}\right), המתאים לשיקוף סביב ציר ה-x, ואת כל המכפלות של \ \tau בסיבובים. החבורה הזו אינה אבלית. גם כאן \ PO_2(\mathbb{R}) \cong O_2(\mathbb{R}).

מטריצות אוניטריות[עריכת קוד מקור | עריכה]

מטריצה אורתוגונלית היא מטריצה אוניטרית מעל הממשיים. מטריצה אוניטרית  A \in M_n(\mathbb{F}) מקיימת: A^* A= I כאשר  A^*:=\overline{A^t}ותכונה הנובעת מזה היא שעמודותיה ושורותיה פורשות את  \mathbb{F}^n. הערה:  \mathbb{F} \in \begin{Bmatrix} \mathbb{R},\mathbb{C} \end{Bmatrix}

תכונות של מטריצות אוניטריות[עריכת קוד מקור | עריכה]

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

P mathematics.svg ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.