מטריצה לכסינה

באלגברה לינארית, מטריצה ריבועית $A$ היא לכסינה (או: ניתנת ללכסון) אם היא דומה למטריצה אלכסונית, כלומר, אם קיימות מטריצה אלכסונית $D$ ומטריצה הפיכה $P$, כך ש- $\ D = P^{-1} A P$. במקרה כזה, P נקראת מטריצה מלכסנת. מטריצות לכסינות ניתן להעלות בחזקה ולהציב בפולינומים בקלות יחסית. כל מטריצה נורמלית ניתנת ללכסון, אבל ישנן מטריצות שאינן ניתנות ללכסון.

באופן דומה, טרנספורמציה לינארית $T: V\rarr V$ מהמרחב הווקטורי V אל עצמו היא לכסינה אם קיים בסיס $\ \{b_1,\dots,b_n\}$ של V, ש-T פועלת על כל רכיביו כמו כפל בסקלר; דהיינו קיימים סקלרים $\ \lambda_1,\dots,\lambda_n$, שעבורם $\ T(b_i) = \lambda_i b_i$. טרנספורמציה היא לכסינה אם ורק אם קיימת לה מטריצה מייצגת לכסינה; ובמקרה כזה כל מטריצה מייצגת שלה היא לכסינה.

תכונת הלכסינות תלויה בשדה שממנו נלקחות המטריצות P ו-D. ישנן למשל מטריצות ממשיות, שהן לכסינות מעל המרוכבים אבל אינן לכסינות מעל הממשיים.

אפיון בעזרת הפולינום המינימלי

למטריצה אלכסונית, שאלכסונה כולל את המספרים $\ a_1,\dots,a_n$, יש פולינום אופייני $\ f_D(t) = (t-a_1)\cdots (t-a_n)$, ופולינום מינימלי השווה למכפלת הגורמים $\ (t-a_i)$ עבור הערכים השונים זה מזה. אם שתי מטריצות דומות זו לזו, אז יש להן אותם פולינום האופייני ופולינום המינימלי. לכן, כדי שמטריצה תהיה לכסינה, צריכים להיות לה פולינום אופייני ומינימלי כאלו של מטריצה אלכסונית. בפרט: הפולינום האופייני של מטריצה לכסינה מוכרח להתפרק לגורמים לינאריים. אם כל הערכים העצמיים שונים זה מזה, די בכך.

באופן כללי, מטריצה היא לכסינה אם ורק אם הפולינום האופייני שלה מתפרק לגורמים לינאריים, והריבוי האלגברי של כל ערך עצמי שווה לזה של הריבוי הגאומטרי. מכיוון שהריבוי הגאומטרי לעולם קטן או שווה מן הריבוי האלגברי, התנאי האחרון שקול לתנאי הבא: סכום הריבויים הגאומטריים של כל הערכים העצמיים שווה למימד המטריצה.

אם המטריצה A ניתנת ללכסון, אפשר להרכיב מטריצה מלכסנת P על ידי איסוף בסיס של וקטורים עצמיים כעמודות במטריצה. במקרה כזה האלכסון הראשי של המטריצה האלכסונית $\ P^{-1}AP$ הם הערכים העצמיים של A, כאשר כל ערך מופיע בה מספר פעמים ששווה לריבוי האלגברי שלו.

מוטיבציה ושימושים

המוטיבציה ללכסון מטריצות היא הנוחות הרבה שבעבודה עם מטריצות אלכסוניות: הערכים העצמיים והווקטורים העצמיים שלה ברורים מאוד ואין קושי במציאתם, וקל מאוד להעלות אותה בחזקה - די בהעלאת כל איבר ואיבר שלה באותה חזקה. דבר זה חשוב במיוחד לצורך העלאה בחזקה של מטריצות שאינן אלכסוניות, אך הן לכסינות. למשל, תהי A המטריצה הלכסינה, D המטריצה האלכסונית הדומה לה ו-P המטריצה המלכסנת: $\ D = P^{-1} A P$, שזה אותו הדבר כמו $\ A = P D P^{-1}$. נעלה את A בחזקה:

$\ A^n = (P D P^{-1})^n = (P D P^{-1})(P D P^{-1})...(P D P^{-1}) = P D (P^{-1} P) D (P^{-1} P) D ... (P^{-1} P) D P^{-1} = P D^n P^{-1}$

כלומר, לשם העלאת מטריצה לכסינה בחזקה n אין צורך לבצע כפל מטריצות n-1 פעמים, אלא די בשתי פעולות כפל, שכן העלאת מטריצה אלכסונית בחזקה היא כאמור טריוויאלית.

ככלל, מעל לשדה המספרים המרוכבים, קיים סיכוי רב יותר שמטריצה אקראית תהיה לכסינה. הדבר אינו נכון לגבי המספרים הממשיים: הסיכוי שמטריצה אקראית מעל למספרים הממשיים תהיה לכסינה הולך ופוחת ככל שסדר המטריצה גדל.

משפט חשוב אומר שכל מטריצה הרמיטית ניתנת ללכסון יוניטרי. במקרה הפרטי שבו מדובר במטריצה סימטרית ממשית, זה אומר שהיא ניתנת ללכסון והמטריצה המלכסנת היא מטריצה אורתוגונלית.

אלגוריתם ללכסון מטריצות

תהי A מטריצה ריבועית לכסינה מסדר n.

1. נפתור את הפולינום האופייני $\ p(\lambda) = \det \left( \lambda I - A \right) = 0$ למציאת הערכים העצמיים של המטריצה.
2. המטריצה האלכסונית היא $\ D = \mbox{diag} \left( \lambda_1 , \cdots , \lambda_n \right)$ כאשר $\lambda_1 , ... , \lambda_n$ הם שורשי הפולינום האופייני.
3. נמצא את הריבוי הגאומטרי, כלומר: $\ \dim \ker ( \lambda I - A)$ עבור כל ערך עצמי $\lambda$.
4. נמצא את המרחב העצמי של כל ערך עצמי, המרחב המכיל את הווקטורים העצמיים לכל ערך עצמי $\ \lambda$ (כלומר: את הווקטורים השונים מאפס המאפסים את המטריצה $(A - \ \lambda I)$. בדרך כלל נהוג לנרמל אותם כך ש-$\vec{v} \cdot \vec{v} = \langle \vec{v} , \vec{v} \rangle = 1$).
5. נסמן ב-P את המטריצה שעמודותיה הם ווקטורים עצמיים בלתי תלויים לינארית (זוהי המטריצה המלכסנת). אזי $\ D = P^{-1} A P$.