מטריצות גאמה של דיראק

מטריצות גאמה של דיראק הן אוסף של 4 מטריצות $\ \gamma^0 , \gamma^1 , \gamma^2 , \gamma^3$ (בתוספת מטריצה חמישית המייצגת את הכיראליות) בגודל 4 על 4 המשמשות להצגת משוואת דיראק

$\ \left( i \hbar \gamma^\mu \partial_\mu - m c \right) \psi = 0$

כאשר $\mu = 0,1,2,3$ ויש סכימה על אינדקסים כפולים (הסכם הסכימה של איינשטיין).

הגדרות

הצגת דיראק

בהצגה הסטנדרטית של דיראק מוגדרות המטריצות באופן הבא:

$\gamma^0 = \begin{pmatrix} I & 0 \\ 0 & -I \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}, \gamma^1 \!=\! \begin{pmatrix} 0 & \sigma^x \\ - \sigma^x & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

$\gamma^2 \!=\! \begin{pmatrix} 0 & \sigma^y \\ - \sigma^y & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & -i \\ 0 & 0 & i & 0 \\ 0 & i & 0 & 0 \\ -i & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \gamma^3 \!=\! \begin{pmatrix} 0 & \sigma^z \\ - \sigma^z & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

כאשר $\sigma^k$ הן מטריצות פאולי (2 על 2) ו-I היא מטריצת היחידה 2 על 2.

בדרך כלל מגדירים גם את מטריצת גאמה של הכיראליות

$\ \gamma^5 = i \gamma^0 \gamma^1 \gamma^2 \gamma^3 = \frac{-i}{4!} \epsilon_{\mu \nu \rho \sigma} \gamma^\mu \gamma^\nu \gamma^\rho \gamma^\sigma = \begin{pmatrix} 0 & I \\ I & 0 \end{pmatrix}$

הצגת וייל

בהצגה הכיראלית של וייל מוגדרות המטריצות באופן הבא:

$\ \gamma^1 = \begin{pmatrix} 0 & \sigma^x \\ - \sigma^x & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$	$\ \gamma^0 = \begin{pmatrix} 0 & I \\ I & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \quad ,$
$\ \gamma^3 = \begin{pmatrix} 0 & \sigma^z \\ - \sigma^z & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$	$\ \gamma^2 = \begin{pmatrix} 0 & \sigma^y \\ - \sigma^y & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & -i \\ 0 & 0 & i & 0 \\ 0 & i & 0 & 0 \\ -i & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \quad ,$

כאשר $\sigma^k$ הן מטריצות פאולי (2 על 2) ו-I היא מטריצת היחידה 2 על 2.

בדרך כלל מגדירים גם את מטריצת גאמה של הכיראליות

$\ \gamma^5 = i \gamma^0 \gamma^1 \gamma^2 \gamma^3 = \frac{-i}{4!} \epsilon_{\mu \nu \rho \sigma} \gamma^\mu \gamma^\nu \gamma^\rho \gamma^\sigma = \begin{pmatrix} -I & 0 \\ 0 & I \end{pmatrix}$

בהצגה זו קל לבטא את ההטלה הכיראלית של ספינורי וייל השמאלי והימני:

 :$\psi_L=\begin{pmatrix} I & 0 \\0 & 0 \end{pmatrix}\psi = \frac{I-\gamma^5}{2}\psi ,\quad \psi_R=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\0 & I \end{pmatrix}\psi = \frac{I+\gamma^5}{2}\psi$

הצגת מיורנה

פחות נפוצה היא ההצגה של מיורנה בה המטריצות הן דמיוניות. הצגה זו נתונה על ידי

$\gamma^0 = \begin{pmatrix} 0 & \sigma^2 \\ \sigma^2 & 0 \end{pmatrix}, \quad \gamma^1 = \begin{pmatrix} i\sigma^3 & 0 \\ 0 & i\sigma^3 \end{pmatrix}$

$\gamma^2 = \begin{pmatrix} 0 & -\sigma^2 \\ \sigma^2 & 0 \end{pmatrix}, \quad \gamma^3 = \begin{pmatrix} -i\sigma^1 & 0 \\ 0 & -i\sigma^1 \end{pmatrix}, \quad \gamma^5 = \begin{pmatrix} \sigma^2 & 0 \\ 0 & -\sigma^2 \end{pmatrix}$

תכונות

זהויות בסיסיות

• מטריצות גאמה מקיימות את אלגברת דיראק:

  $\ \{ \gamma^\mu , \gamma^\nu \} = \gamma^\mu \gamma^\nu + \gamma^\nu \gamma^\mu = 2 \eta^{\mu \nu} I_{4 \times 4}$

כאשר סוגריים מסולסלות מסמנות אנטי-קומוטטור ו-$\eta$ היא מטריקת מינקובסקי $\ \eta ^{\mu \nu} = diag ( 1, -1, -1, -1)$.

בפרט, מטריצות שונות הן אנטי-מתחלפות, כלומר: לכל $\mu \ne \nu$ מתקיים $\ \gamma^\mu \gamma^\nu = - \gamma^\nu \gamma^\mu$

• מכאן נובע ש:
  • $\ ( \gamma^0 )^2 = I_{4 \times 4}$
  • $\ ( \gamma^k )^2 = -I_{4 \times 4}$ כאשר k=1,2,3.
• ביחס ללקיחת צמוד הרמיטי:
  • $\left( \gamma^0 \right)^\dagger = \gamma^0$
  • $\left( \gamma^k \right)^\dagger = -\gamma^k$ כאשר k=1,2,3.

• מטריצת הכיראליות $\gamma^5$ מקיימת:
  • $\ ( \gamma^5)^\dagger = \gamma^5$
  • $\ ( \gamma^5 )^2 = I_{4 \times 4}$
  • $\ \{ \gamma^\mu , \gamma^5\} = 0$ , כלומר: $\ \gamma^\mu \gamma^5 = - \gamma^5 \gamma^\mu$
• מטריצת הכיראליות הזו היא פסאודו-סקלר.

זהויות סכימה

Num	Identity
1	$\displaystyle\gamma^\mu\gamma_\mu=4 I$
2	$\displaystyle\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma_\mu=-2\gamma^\nu$
3	$\displaystyle\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^\rho\gamma_\mu=4\eta^{\nu\rho} I$
4	$\displaystyle\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^\rho\gamma^\sigma\gamma_\mu=-2\gamma^\sigma\gamma^\rho\gamma^\nu$

זהויות עקבה

Num	Identity
1	העקבה של כל מכפלה אי-זוגית של מטריצות $\ \gamma^\mu$ היא אפס.
2	$\operatorname{tr} (\gamma^\mu\gamma^\nu) = 4\eta^{\mu\nu}$
3	$\operatorname{tr}(\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^\rho\gamma^\sigma)=4(\eta^{\mu\nu}\eta^{\rho\sigma}-\eta^{\mu\rho}\eta^{\nu\sigma}+\eta^{\mu\sigma}\eta^{\nu\rho})$
4	$\operatorname{tr}(\gamma^5)=\operatorname{tr} (\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^5) = 0$
5	$\operatorname{tr} (\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^\rho\gamma^\sigma\gamma^5) = -4i\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}$

כאשר יש להיעזר בתכונות העקבה:

• לינאריות: $\ \operatorname{tr} (\alpha A + \beta B) = \alpha \operatorname{tr} (A) + \beta \operatorname{tr} (B)$
• ציקליות: $\ \operatorname{tr} (ABC) = \operatorname{tr} (CAB) = \operatorname{tr} (BCA)$

יוצרים של חבורת לורנץ

אפשר לבטא את היוצרים של חבורת לורנץ (חבורת טרנספורמציות לורנץ) בהצגה הכיראלית על ידי

$\ S^{\mu \nu} = \frac{i}{4} [ \gamma^\mu , \gamma^\nu ]$

ואז ההאצות (boost) נתונות על ידי

$\ S^{i j} = \frac{i}{4} [ \gamma^0 , \gamma^k ] = -\frac{i}{2} \begin{pmatrix} \sigma^k & 0 \\ 0 & -\sigma^k \end{pmatrix}\$

והסיבובים נתונים על ידי

$\ S^{i j} = \frac{i}{4} [ \gamma^i , \gamma^j ] = \frac{1}{2} \epsilon^{i j k} \begin{pmatrix} \sigma^k & 0 \\ 0 & \sigma^k \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \epsilon^{ijk} \Sigma^k\$

לקריאה נוספת

• Peskin & Schroeder, Introduction to Quantum Field Theory, עמודים 40-41 ועמוד 50