מטריצות גאמה של דיראק

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

מטריצות גאמה של דיראק הן אוסף של 4 מטריצות \ \gamma^0 , \gamma^1 , \gamma^2 , \gamma^3 (בתוספת מטריצה חמישית המייצגת את הכיראליות) בגודל 4 על 4 המשמשות להצגת משוואת דיראק

\ \left( i \hbar \gamma^\mu \partial_\mu - m c \right) \psi = 0

כאשר \mu = 0,1,2,3 ויש סכימה על אינדקסים כפולים (הסכם הסכימה של איינשטיין).

הגדרות[עריכת קוד מקור | עריכה]

הצגת דיראק[עריכת קוד מקור | עריכה]

בהצגה הסטנדרטית של דיראק מוגדרות המטריצות באופן הבא:

 \gamma^0 = \begin{pmatrix} I & 0 \\ 0 & -I \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} 
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\ 
0 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix},
\gamma^1 \!=\! \begin{pmatrix} 0 & \sigma^x \\ - \sigma^x & 0 \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & -1 & 0 & 0 \\
-1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
\gamma^2 \!=\! \begin{pmatrix} 0 & \sigma^y \\ - \sigma^y & 0 \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & -i \\
0 & 0 & i & 0 \\
0 & i & 0 & 0 \\
-i & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},
\gamma^3 \!=\! \begin{pmatrix} 0 & \sigma^z \\ - \sigma^z & 0 \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -1 \\
-1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}

כאשר \sigma^k הן מטריצות פאולי (2 על 2) ו-I היא מטריצת היחידה 2 על 2.

בדרך כלל מגדירים גם את מטריצת גאמה של הכיראליות

\ \gamma^5 = i \gamma^0 \gamma^1 \gamma^2 \gamma^3 = \frac{-i}{4!} \epsilon_{\mu \nu \rho \sigma} \gamma^\mu \gamma^\nu \gamma^\rho \gamma^\sigma = \begin{pmatrix} 0 & I \\ I & 0 \end{pmatrix}

הצגת וייל[עריכת קוד מקור | עריכה]

בהצגה הכיראלית של וייל מוגדרות המטריצות באופן הבא:

\ \gamma^1 = \begin{pmatrix} 0 & \sigma^x \\ - \sigma^x & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \ \gamma^0 = \begin{pmatrix} 0 & I \\ I & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \quad ,
\ \gamma^3 = \begin{pmatrix} 0 & \sigma^z \\ - \sigma^z & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \ \gamma^2 = \begin{pmatrix} 0 & \sigma^y \\ - \sigma^y & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & -i \\ 0 & 0 & i & 0 \\ 0 & i & 0 & 0 \\ -i & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \quad ,

כאשר \sigma^k הן מטריצות פאולי (2 על 2) ו-I היא מטריצת היחידה 2 על 2.

בדרך כלל מגדירים גם את מטריצת גאמה של הכיראליות

\ \gamma^5 = i \gamma^0 \gamma^1 \gamma^2 \gamma^3 = \frac{-i}{4!} \epsilon_{\mu \nu \rho \sigma} \gamma^\mu \gamma^\nu \gamma^\rho \gamma^\sigma = \begin{pmatrix} -I & 0 \\ 0 & I \end{pmatrix}

בהצגה זו קל לבטא את ההטלה הכיראלית של ספינורי וייל השמאלי והימני:

 :\psi_L=\begin{pmatrix} I & 0 \\0 & 0 \end{pmatrix}\psi = \frac{I-\gamma^5}{2}\psi ,\quad \psi_R=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\0 & I \end{pmatrix}\psi = \frac{I+\gamma^5}{2}\psi

הצגת מיורנה[עריכת קוד מקור | עריכה]

פחות נפוצה היא ההצגה של מיורנה בה המטריצות הן דמיוניות. הצגה זו נתונה על ידי

\gamma^0 = \begin{pmatrix} 0 & \sigma^2 \\ \sigma^2 & 0 \end{pmatrix}, \quad \gamma^1 = \begin{pmatrix} i\sigma^3 & 0 \\ 0 & i\sigma^3 \end{pmatrix}
\gamma^2 = \begin{pmatrix} 0 & -\sigma^2 \\ \sigma^2 & 0 \end{pmatrix}, \quad \gamma^3 = \begin{pmatrix} -i\sigma^1 & 0 \\ 0 & -i\sigma^1 \end{pmatrix}, \quad \gamma^5 = \begin{pmatrix} \sigma^2 & 0 \\ 0 & -\sigma^2 \end{pmatrix}

תכונות[עריכת קוד מקור | עריכה]

זהויות בסיסיות[עריכת קוד מקור | עריכה]

כאשר סוגריים מסולסלות מסמנות אנטי-קומוטטור ו-\eta היא מטריקת מינקובסקי \ \eta ^{\mu \nu} = diag ( 1, -1, -1, -1).
בפרט, מטריצות שונות הן אנטי-מתחלפות, כלומר: לכל \mu \ne \nu מתקיים \ \gamma^\mu \gamma^\nu = - \gamma^\nu \gamma^\mu
  • מטריצת הכיראליות \gamma^5 מקיימת:
    • \ ( \gamma^5)^\dagger = \gamma^5
    • \ ( \gamma^5 )^2 = I_{4 \times 4}
    • \ \{ \gamma^\mu , \gamma^5\} = 0 , כלומר: \ \gamma^\mu \gamma^5 = - \gamma^5 \gamma^\mu
  • מטריצת הכיראליות הזו היא פסאודו-סקלר.

זהויות סכימה[עריכת קוד מקור | עריכה]

Num Identity
1 \displaystyle\gamma^\mu\gamma_\mu=4 I
2 \displaystyle\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma_\mu=-2\gamma^\nu
3 \displaystyle\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^\rho\gamma_\mu=4\eta^{\nu\rho} I
4 \displaystyle\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^\rho\gamma^\sigma\gamma_\mu=-2\gamma^\sigma\gamma^\rho\gamma^\nu

זהויות עקבה[עריכת קוד מקור | עריכה]

Num Identity
1 העקבה של כל מכפלה אי-זוגית של מטריצות \ \gamma^\mu היא אפס.
2 \operatorname{tr} (\gamma^\mu\gamma^\nu) = 4\eta^{\mu\nu}
3 \operatorname{tr}(\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^\rho\gamma^\sigma)=4(\eta^{\mu\nu}\eta^{\rho\sigma}-\eta^{\mu\rho}\eta^{\nu\sigma}+\eta^{\mu\sigma}\eta^{\nu\rho})
4 \operatorname{tr}(\gamma^5)=\operatorname{tr} (\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^5) = 0
5 \operatorname{tr} (\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^\rho\gamma^\sigma\gamma^5) = -4i\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}

כאשר יש להיעזר בתכונות העקבה:

יוצרים של חבורת לורנץ[עריכת קוד מקור | עריכה]

אפשר לבטא את היוצרים של חבורת לורנץ (חבורת טרנספורמציות לורנץ) בהצגה הכיראלית על ידי

\ S^{\mu \nu} = \frac{i}{4} [ \gamma^\mu , \gamma^\nu ]

ואז ההאצות (boost) נתונות על ידי

\ S^{i j} = \frac{i}{4} [ \gamma^0 , \gamma^k ] = -\frac{i}{2} \begin{pmatrix} \sigma^k & 0 \\ 0 & -\sigma^k \end{pmatrix}\

והסיבובים נתונים על ידי

\ S^{i j} = \frac{i}{4} [ \gamma^i , \gamma^j ] = \frac{1}{2} \epsilon^{i j k} \begin{pmatrix} \sigma^k & 0 \\ 0 & \sigma^k \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \epsilon^{ijk} \Sigma^k\

לקריאה נוספת[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • Peskin & Schroeder, Introduction to Quantum Field Theory, עמודים 40-41 ועמוד 50