מטריצות פאולי

מטריצות פאולי הן שלוש מטריצות מרוכבות המסייעות לייצג טרנספורמציות סיבוב במרחב מממד זוגי של פונקציות מרוכבות. למטריצות אלו חשיבות רבה בפיזיקה בכלל, ובתורת הקוונטים בפרט. בין היתר ניתן לייצג בעזרתן את אופרטור הספין, אופרטור הבורגיות (הליסיטי) ובעזרתם ניתן לכתוב את משוואת דיראק במרחב הספינור ה-4 ממדי. מטריצות אלו קרויות על שם הפיזיקאי האוסטרי וולפגנג פאולי.

המטריצות הן מסדר $2 \times 2$, כדלהלן:

$\sigma_x = \begin{pmatrix} 0&1\\ 1&0 \end{pmatrix}$

$\sigma_y = \begin{pmatrix} 0&-i\\ i&0 \end{pmatrix}$

$\sigma_z = \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&-1 \end{pmatrix}$

לדוגמה, אופרטור הספין במרחב המצבים העצמיים של ספין 1/2 ניתן לכתיבה כ:

$\vec{S} = \frac{\hbar}{2} \vec{\sigma} = \frac{\hbar}{2} \left( \sigma _x \hat{x} + \sigma _y \hat{y} + \sigma _z \hat{z} \right)$

תכונות מטריצות פאולי

• מטריצות פאולי הן מטריצות הרמיטיות, אוניטריות, בעלות עקבה אפס ובעלות דטרמיננטה 1-, כלומר:

$\sigma_i^\dagger = \sigma_i^{-1} = \sigma_i$

$\ \operatorname{Tr}(\sigma_i)=0$

$\ \det(\sigma_i)=-1$

• מטריצות פאולי יחד עם מטריצת היחידה מהוות בסיס למרחב המטריצות המרוכבות $2 \times 2$.

• למטריצות פאולי ערכים עצמיים 1+ ו 1- .

• כל אחת ממטריצות פאולי מקיימת את השוויון : $\ \sigma_i^2 =I$ כאשר $\ I$ מטריצת היחידה.

• כפל מטריצות:

$\sigma_1\sigma_2 = i\sigma_3\,\!$

$\sigma_3\sigma_1 = i\sigma_2\,\!$

$\sigma_2\sigma_3 = i\sigma_1\,\!$

$\sigma_i\sigma_j = -\sigma_j\sigma_i\mbox{ for }i\ne j\,\!$

• יחסי קומוטציה ואנטי-קומוטציה :

$\begin{matrix} [\sigma_i, \sigma_j] &=& 2 i\,\varepsilon_{i j k}\,\sigma_k \\[1ex] \{\sigma_i, \sigma_j\} &=& 2 \delta_{i j} \cdot I \end{matrix}$

• את הזהויות לעיל אפשר לסכם כך:

$\sigma_i \sigma_j = \delta_{ij} \cdot I + i \varepsilon_{ijk} \sigma_k \,$.

כאשר $\delta_{ij}$ הוא דלתא של קרונקר ו $\varepsilon_{ijk}$ הוא טנזור לוי-צ'יויטה.

• עבור וקטורים $\ \vec{a} , \vec{b}$ (של מספרים) מתקיים:

$(\vec{a} \cdot \vec{\sigma})(\vec{b} \cdot \vec{\sigma}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + i \vec{\sigma} \cdot ( \vec{a} \times \vec{b} ) \quad \quad \quad \quad \,$

• $\ \sigma_2 \sigma_k \sigma_2 = - \sigma_k^*$

• $\ \operatorname{Tr} ( \sigma^i \sigma^j ) = 2 \delta^{ij}$

שימושים בפיזיקה

למטריצות פאולי מספר שימושים בתורת הקוונטים, ביניהם:

• עבור ספין 1/2, האופרטור המתאים לספין בכיוון הציר $\ \hat n$ הוא $\ \frac{\hbar}{2} \vec{\sigma} \cdot \hat{n}$. בפרט מטריצות פאולי עצמן מתאימות לספין בכיוון הצירים x,y,z. האופרטור המתאר סיבוב של ספין 1/2 בזווית $\theta$ סביב הציר $\ \hat n$ הוא: $e^{-i \frac{\theta}{2}(\hat{n} \cdot \vec{\sigma})} = \cos{\frac{\theta}{2}} -i (\hat{n} \cdot \sigma) \sin{\frac{\theta}{2}} \,$
• מטריצות פאולי משמשות לבניית מטריצות גאמה של דיראק, הנמצאות בניסוח היחסותי האינווריאנטי-לורנץ של משוואת דיראק.
• בפיזיקה גרעינית משתמשים במטריצות פאולי לתיאור טרנספורמציות של חלקיקים בעלי איזוספין 1/2 (לדוגמה נוקליאונים). בתחום זה מטריצות פאולי מסומנות בדרך כלל ב-$\ \tau_i$.
• מטריצות פאולי הן היוצרות של ההצגה מממד 2 של חבורת לי $\ SU(2)$.

ראו גם

• מטריצת סיבוב