מטריצת הסיאן

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

באנליזה מתמטית, מטריצת הסיאן (Hessian) היא מטריצה ריבועית, שאיבריה הם הנגזרות החלקיות מסדר שני של פונקציה. מטריצת ההסיאן שימושית במציאת נקודות קיצון של פונקציה מרובת משתנים.

הגדרה פורמלית[עריכת קוד מקור | עריכה]

תהא \ f(x_1,\dots,x_n):\mathbb{R}^n\rarr\mathbb{R} פונקציה סקלרית ב-\ n משתנים, שקיימות כל הנגזרות החלקיות מסדר 2 שלה.

נגדיר את מטריצת ההסיאן \ H(f) בנקודה \ a=(a_1,\dots,a_n) בתור מטריצה בגודל \ n\times n כך ש:\ \left[H(f)\right]_{ij}=\frac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_i}(a) - הערך של האיבר \ ij הוא ערך הנגזרת השנייה של \ f בנקודה \ a כאשר קודם גוזרים על פי המשתנה \ x_i ואחר כך על פי המשתנה \ x_j.

אם כל הנגזרות החלקיות מסדר 2 הן רציפות (נהוג לסמן זאת \ f\isin C^2), קיים משפט המראה כי הנגזרות המעורבות על פי אותם משתנים שוות, כלומר \ f_{ij}=f_{ji}. מכאן נובע כי אם \ f\isin C^2 אז מטריצת ההסיאן היא מטריצה סימטרית.


H(f) = \begin{bmatrix}
\frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1\,\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1\,\partial x_n} \\  \\
\frac{\partial^2 f}{\partial x_2\,\partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2\,\partial x_n} \\  \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\  \\
\frac{\partial^2 f}{\partial x_n\,\partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n\,\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n^2}
\end{bmatrix}

שימוש לבדיקת ערכי קיצון[עריכת קוד מקור | עריכה]

אם בנקודה \ a\isin\mathbb{R}^n הגרדיאנט של \ f הוא וקטור האפס, הנקודה \ a נקראת נקודה קריטית. ממשפט פרמה נובע כי כל נקודת קיצון היא נקודה קריטית, אולם ההפך אינו נכון בהכרח - לא כל נקודה קריטית היא נקודת קיצון, והמשפט אינו נותן דרך לבדוק זאת. באמצעות ההסיאן ניתן לקבל תשובה במקרים רבים.

בהינתן נקודה קריטית \ a יש לחשב את מטריצת ההסיאן של הפונקציה בנקודה זו. כעת בודקים את סימנם של הערכים העצמיים של המטריצה, ומתקיים אחד מבין המקרים הבאים:

  1. אם כל הערכים העצמיים של המטריצה חיוביים (מטריצה כזו נקראת מטריצה חיובית לחלוטין) הנקודה היא נקודת מינימום.
  2. אם כל הערכים העצמיים של המטריצה שליליים (מטריצה כזו נקראת מטריצה שלילית לחלוטין) הנקודה היא נקודת מקסימום.
  3. אם קיים למטריצה ערך עצמי חיובי וערך עצמי שלילי, הנקודה היא נקודת אוכף.
  4. אם למטריצה קיים ערך עצמי 0 ושאר הערכים עצמיים הם בעלי אותו סימן, לא ניתן לדעת בוודאות בעזרת מבחן זה האם הנקודה היא נקודת מינימום, מקסימום, או אוכף.

נשים לב כי מבחן זה מכליל את הבדיקה עבור פונקציה של משתנה אחד: אם הנגזרת השנייה של הפונקציה חיובית בנקודת קיצון, זוהי נקודת מינימום. אם היא שלילית, זוהי נקודת מקסימום, ואם היא שווה לאפס, לא ניתן לדעת באמצעות מבחן זה האם זוהי נקודת מינימום, מקסימום או נקודת פיתול.