מטריצת סיבוב

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

מטריצת סיבוב היא מטריצה שכאשר מכפילים אותה בווקטור אחד או יותר היא משנה את כיוונם מבלי לשנות את גודלם.

תכונות[עריכת קוד מקור | עריכה]

תהי \mathcal{M} מטריצת סיבוב מסדר \ n \times n. מטריצת סיבוב מוגדרת כמטריצה אורתוגונלית בעלת דטרמיננטה 1. לכן:

\mathbf{A}\cdot\mathbf{B} = \mathcal{M}\mathbf{A}\cdot\mathcal{M}\mathbf{B}
  • המטריצה ההפוכה של מטריצת הסיבוב היא המטריצה המשוחלפת שלה:
\mathcal{M}\,\mathcal{M}^{-1}=\mathcal{M}\,\mathcal{M}^\top=\mathcal{I}    כאשר\mathcal{I} היא מטריצת היחידה.
\mathcal{M}=\exp (\mathbf{A})=\sum_{n=0}^\infty \frac{\mathbf{A}^n}{n!}
כאשר את האקספוננט נפתח בעזרת טור טיילור ואת \mathbf{A}^n נגדיר בעזרת כפל מטריצות.

דו-ממד[עריכת קוד מקור | עריכה]

בדו-ממד, ניתן להגדיר את מטריצת הסיבוב בעזרת זווית \theta, כאשר מוסכם כי זווית חיובית מסובבת נגד כיוון השעון. המטריצה לסיבוב וקטור בזווית \theta היא:


 M(\theta) = \begin{bmatrix} 
 \cos{\theta} & -\sin{\theta} \\
 \sin{\theta} & \cos{\theta} 
 \end{bmatrix}
 = \exp\left(\begin{bmatrix} 
 0 & \theta \\
 -\theta & 0 
 \end{bmatrix}\right)

ניתן גם להוכיח כי כל מטריצה  2\times 2 אורתוגונלית עם דטרמיננטה 1 היא מצורה זו.

תלת-ממד[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • מטריצת הסיבוב סביב ציר ה- x בזווית \theta_{x} היא:

 \mathcal{R}_x(\theta_x)=
 \begin{bmatrix}
 1 & 0 & 0 \\
 0 & \cos{\theta_x} &- \sin{\theta_x} \\
 0 & \sin{\theta_x} & \cos{\theta_x}
 \end{bmatrix}
 =\exp \left(
 \begin{bmatrix}
 0 & 0 & 0 \\
 0 & 0 & -\theta_x \\
 0 & \theta_x & 0
 \end{bmatrix}\right)
  • מטריצת הסיבוב סביב ציר ה- y בזווית \theta_{y} היא:

 \mathcal{R}_y(\theta_y)=
 \begin{bmatrix}
 \cos{\theta_y} & 0 & \sin{\theta_y} \\
 0 & 1 & 0 \\
 \\-sin{\theta_y} & 0 & \cos{\theta_y}
 \end{bmatrix} 
 =\exp\left(
 \begin{bmatrix}
 0 & 0 & \theta_y \\
 0 & 0 & 0 \\
-\theta_y & 0 & 0
 \end{bmatrix}\right)
  • מטריצת הסיבוב סביב ציר ה- z בזווית \theta_{z} היא:

 \mathcal{R}_z(\theta_z)=
 \begin{bmatrix} 
 \cos{\theta_z} & -\sin{\theta_z} & 0 \\
 \sin{\theta_z} & \cos{\theta_z} & 0 \\
 0 & 0 & 1 
 \end{bmatrix}
 =\exp\left(
 \begin{bmatrix} 
 0 & -\theta_z & 0 \\
 \theta_z & 0 & 0 \\
 0 & 0 & 0 
 \end{bmatrix}\right)

כל סיבוב סביב כל ציר אחר ניתן להצגה כהרכבה של מטריצות מהסוג הזה.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]