מטריצת סיבוב

מטריצת סיבוב היא מטריצה שכאשר מכפילים אותה בווקטור אחד או יותר היא משנה את כיוונם מבלי לשנות את גודלם.

תכונות

תהי $\mathcal{M}$ מטריצת סיבוב מסדר $\ n \times n$. מטריצת סיבוב מוגדרת כמטריצה אורתוגונלית בעלת דטרמיננטה 1. לכן:

• המטריצה משמרת את המכפלה הסקלרית:

$\mathbf{A}\cdot\mathbf{B} = \mathcal{M}\mathbf{A}\cdot\mathcal{M}\mathbf{B}$

• המטריצה ההפוכה של מטריצת הסיבוב היא המטריצה המשוחלפת שלה:

$\mathcal{M}\,\mathcal{M}^{-1}=\mathcal{M}\,\mathcal{M}^\top=\mathcal{I}$    כאשר$\mathcal{I}$ היא מטריצת היחידה.

• ניתן להציג מטריצת סיבוב כאקספוננט של מטריצה אנטיסימטרית A:

$\mathcal{M}=\exp (\mathbf{A})=\sum_{n=0}^\infty \frac{\mathbf{A}^n}{n!}$

כאשר את האקספוננט נפתח בעזרת טור טיילור ואת $\mathbf{A}^n$ נגדיר בעזרת כפל מטריצות.

דו-ממד

בדו-ממד, ניתן להגדיר את מטריצת הסיבוב בעזרת זווית $\theta$, כאשר מוסכם כי זווית חיובית מסובבת נגד כיוון השעון. המטריצה לסיבוב וקטור בזווית $\theta$ היא:

$M(\theta) = \begin{bmatrix} \cos{\theta} & -\sin{\theta} \\ \sin{\theta} & \cos{\theta} \end{bmatrix} = \exp\left(\begin{bmatrix} 0 & \theta \\ -\theta & 0 \end{bmatrix}\right)$

ניתן גם להוכיח כי כל מטריצה $2\times 2$ אורתוגונלית עם דטרמיננטה 1 היא מצורה זו.

תלת-ממד

• מטריצת הסיבוב סביב ציר ה- $x$ בזווית $\theta_{x}$ היא:

$\mathcal{R}_x(\theta_x)= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos{\theta_x} &- \sin{\theta_x} \\ 0 & \sin{\theta_x} & \cos{\theta_x} \end{bmatrix} =\exp \left( \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -\theta_x \\ 0 & \theta_x & 0 \end{bmatrix}\right)$

• מטריצת הסיבוב סביב ציר ה- $y$ בזווית $\theta_{y}$ היא:

$\mathcal{R}_y(\theta_y)= \begin{bmatrix} \cos{\theta_y} & 0 & \sin{\theta_y} \\ 0 & 1 & 0 \\ \\-sin{\theta_y} & 0 & \cos{\theta_y} \end{bmatrix} =\exp\left( \begin{bmatrix} 0 & 0 & \theta_y \\ 0 & 0 & 0 \\ -\theta_y & 0 & 0 \end{bmatrix}\right)$

• מטריצת הסיבוב סביב ציר ה- $z$ בזווית $\theta_{z}$ היא:

$\mathcal{R}_z(\theta_z)= \begin{bmatrix} \cos{\theta_z} & -\sin{\theta_z} & 0 \\ \sin{\theta_z} & \cos{\theta_z} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} =\exp\left( \begin{bmatrix} 0 & -\theta_z & 0 \\ \theta_z & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\right)$

כל סיבוב סביב כל ציר אחר ניתן להצגה כהרכבה של מטריצות מהסוג הזה.

ראו גם

• סיבוב
• מטריצה אורתוגונלית
• זוויות אוילר
• נוסחת הסיבוב של רודריגז

קישורים חיצוניים

• מטריצת סיבוב, באתר MathWorld (באנגלית)