מטריקה רימנית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

במתמטיקה, מטריקה רימנית היא כלל המתאים באופן חלק לכל נקודה על יריעה חלקה מכפלה פנימית על המרחב המשיק ליריעה בנקודה זו. בעזרת כלל זה ניתן להגדיר אורך של קטעים אינפיניטסימלים על עקום ועל ידי אינטגרציה, את האורך של העקום. כמו כן מטריקה רימנית מאפשרת להגדיר זוויות בין עקומים שעוברים דרך אותה נקודה. מטריקה רימנית קרויה על שם ממציאה, ברנרד רימן. יריעה חלקה יחד עם מטריקה רימנית נקראת יריעה רימנית.

הגדרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

מטריקה רימנית על יריעה חלקה  \ M היא שדה טנזורי  \ g מטיפוס (0,2) כך שבכל נקודה  \ p\in M התבנית הבילינארית  \ g_p היא סימטרית וחיובית לחלוטין.

במילים אחרות, המטריקה הרימנית מתאימה לכל נקודה  \ p\in M תבנית בילינארית על המרחב המשיק  \ T_p M , כך שההתאמה היא חלקה ובכל נקודה התבנית הבילינארית היא מכפלה פנימית.

באמצעות חלוקת יחידה, אפשר לבנות על כל יריעה חלקה מטריקה רימנית.

יישומים מטריים[עריכת קוד מקור | עריכה]

המרחק המתקבל ממטריקה רימנית[עריכת קוד מקור | עריכה]

בהינתן מטריקה רימנית ניתן להגדיר אורך של עקום  \ \gamma :[a,b]\to M על ידי

 \ L(\gamma )=\int _a ^b \sqrt{g_{\gamma (t)}(\gamma '(t),\gamma '(t))}dt = \int _a ^b { \sqrt{ g_{\mu \nu} \frac{ d x^\mu}{dt} \frac{d x^\nu}{dt} } dt }

ומכאן להגדיר את המרחק (מטריקה) בין שתי נקודות להיות האינפימום של האורכים של עקומים שמתחילים בנקודה אחת ומסתיימים בשנייה. פונקציית המרחק הזו היא מטריקה.

אלמנט נפח[עריכת קוד מקור | עריכה]

בהינתן מטריקה רימנית ניתן להגדיר אלמנט נפח אינווריאנטי על ידי

\ dV = dx^1 \cdots dx^n \sqrt{\det{g}}

ואלמנט נפח כזה הוא אינווריאנטי תחת שינוי קואורדינטות.

ההוכחה לכך היא כזו:
ראשית,

\ d \bar{x}^1 \cdots d \bar{x}^n = \frac{ \partial ( d \bar{x}^1 \cdots d \bar{x}^n ) }{\partial ( d {x}^1 \cdots d {x}^n ) } d {x}^1 \cdots d {x}^n

כאשר

\ \frac{ \partial ( d \bar{x}^1 \cdots d \bar{x}^n ) }{ \partial ( d {x}^1 \cdots d {x}^n ) } = \det{\left( \frac{\partial \bar{x}^\mu}{\partial x^\nu} \right)}

הוא היעקוביאן של הטרנספורמציה.

כמו כן,

\ \bar{g}_{\mu \nu} = \frac{\partial x^\alpha}{\partial \bar{x}^\mu} \frac{\partial x^\beta}{\partial \bar{x}^\nu} g_{\alpha \beta}

ולכן, מכפליות של דטרמיננטה,

\ \det{\bar{g}} = \det{\left( \frac{\partial {x}^\mu}{\partial \bar{x}^\nu} \right)} \cdot \det{\left( \frac{\partial {x}^\mu}{\partial \bar{x}^\nu} \right)} \cdot \det{g}

או

\ \sqrt{\det{\bar{g}}} = \det{\left( \frac{\partial {x}^\mu}{\partial \bar{x}^\nu} \right)} \sqrt{\det{g}}

לכן

\ d\bar{V} = d\bar{x}^1 \cdots d\bar{x}^n \sqrt{\det{\bar{g}}} = \det{\left( \frac{\partial \bar{x}^\mu}{\partial {x}^\nu} \right)} \cdot dx^1 \cdots dx^n \cdot \det{\left( \frac{\partial {x}^\mu}{\partial \bar{x}^\nu} \right)} \sqrt{\det{g}} = dx^1 \cdots dx^n \sqrt{\det{g}} = dV

שכן מדובר בדטרמיננטות של מטריצה וההפכית לה ( \ \frac{\partial \bar{x}^\mu}{\partial x^\nu} \cdot \frac{\partial x^\nu}{\partial \bar{x}^\rho} = \delta^\mu_\rho ).

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

כדי לתאר מטריקה רימנית, נהוג לבחור מערכת קואורדינטות מקומיות ולתאר את המטריקה הרימנית בעזרת המטריצה של פונקציות  \ g_{\mu \nu}(p)=g_p \left( \frac{\partial}{\partial x^\mu},\frac{\partial}{\partial x^\nu} \right) .

  • כאשר בוחרים מערכת קואורדינטות מקומיות  \{ q^i \} כלשהן ביחס למרחב האוקלידי והקואורדינטות הקרטזיות, המטריקה נתונה על ידי מטריצת גראם: g_{ij} = \langle \frac{ \partial \mathbf{r} }{\partial q^i} , \frac{ \partial \mathbf{r} }{\partial q^j} \rangle
  • אם  \ g היא מטריקה רימנית על יריעה  \ M ו  \ N \subset M היא תת יריעה, הצמצום של  \ g הוא המטריקה על  \ N הנתונה על ידי  \ h_p (v,w)=g_p(v,w) , כאשר  \ p\in N, v,w\in T_pN\subset T_pM .
  • המטריקה על הספירה  \ S^2 המתקבלת מצמצום המטריקה השטוחה על המרחב האוקלידי ניתנת (בקואורדינטות כדוריות) על ידי המטריצה

 \ \left ( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & \sin ^2 (\theta ) \end{matrix} \right )

איזומורפיזמים מוזיקליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

מכיוון שמטריקה רימנית היא תבנית לא מנוונת, היא משרה איזומורפיזם בין המרחב המשיק למרחב הקו-משיק. בקורדינטות מקומיות, האיזומורפיזם נתון על ידי  \ \frac{\partial}{\partial x_i} \mapsto g_{ij}dx_j ו  \ dx_i \mapsto g^{ij}\frac{\partial}{\partial x_j} כאשר המטריצה  \ g^{ij} מסמנת את המטריצה ההופכית של  \ g ומשתמשים בהסכם הסכימה של איינשטיין. בעזרת איזומורפיזם זה ניתן להגדיר איזומורפיזמים נוספים בין כפולות טנזוריות גבוהות יותר של המרחב המשיק והקו משיק, לדוגמה בין  \ TM\otimes TM ובין  \ TM\otimes T^*M ומכך לקבל העתקות בין שדות טנזורים. העתקות אלה נקראות גם הורדה והעלאה של אינדקסים וגם איזומורפיזמים מוזיקליים.

הכללות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • אם מסירים את הדרישה ש  \ g תהיה מוגדרת חיובית (אבל דורשים שהיא תהיה לא מנוונת) האובייקט המתקבל נקרא מטריקה פסאודו-רימנית. מטריקה פסאודו-רימנית מסיגנטורה (n-1,1) נקראת מטריקה לורנצית. על פי תורת היחסות, על המרחב-זמן יש מטריקה לורנצית.
  • מטריקה רימנית על אגד וקטורי כלשהו היא חתך של האגד  \ E^* \otimes E^* כך שבכל נקודה, התבנית המתקבלת היא מכפלה פנימית. על כל אגד וקטורי קיימת מטריקה רימנית.
  • פונקציה חלקה המתאימה לכל נקודה ביריעה נורמה על המרחב המשיק נקראת מטריקת פינסלר (Finsler).

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]