מכפלה (תורת הקטגוריות)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

במתמטיקה, ובמיוחד בתורת הקטגוריות, מכפלה של אובייקטים בקטגוריה היא הכללה של בניות שונות במתמטיקה, כגון מכפלה קרטזית של קבוצות, מכפלה ישרה של חבורות, מכפלה של מרחבים טופולוגים וכו'. במהותה, מכפלה של זוג אובייקטים היא "האובייקט הכללי ביותר" שיש ממנו מורפיזם לכל אחד מזוג האובייקטים.

הגדרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

נניח כי C היא קטגוריה וכי \,\{X_i|i \in I\} היא משפחה של אובייקטים ב-C. המכפלה של הקבוצה \,\{X_i\} היא אובייקט X ביחד עם אוסף מורפיזמים \,\pi_i:X\rightarrow X_i (הנקראות ההטלות הקנוניות, שהן לעתים קרובות, אם כי לא תמיד אפימורפיזמים) אשר מקיימים את התכונה האוניברסלית הבאה: לכל אובייקט Y ואוסף מורפיזמים \,f_i:Y\rightarrow X_i קיים מורפיזם יחיד \,f:Y\rightarrow X כך שלכל \,i \in I מתקיים f_i = \pi_i \circ f. במילים אחרות, לכל i הדיאגרמה הבאה היא דיאגרמה קומוטטיבית:

התכונה האוניברסלית של מכפלה

במילים אחרות, X הוא אובייקט סופי בקטגוריה C_{\{X_i\}} = \left\{ (Z, \{ g_i : Z \to X_i \}) \ | \ \forall i : X , X_i \in \mathrm{Ob}(C) \ , \ g_i \in \mathrm{Mor}(Z,X_i) \right\} עם המורפיזמים המתאימים (כך שהדיאגרמה המתאימה קומוטטיבית).

אם משפחת האובייקטים מכילה רק שני איברים, נהוג לסמן את המכפלה ב\,X_1 \times X_2, ואז התכונה האוניברסלית מבוטאת על ידי הדיאגרמה הקומוטטיבית הבאה:

התכונה האוניברסלית של מכפלת זוג אובייקטים

המורפיזם היחיד f ההופך את הדיאגרמה לקומוטטיבית מסומן לעתים ב<f1,f2>.

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • בקטגוריה של קבוצות, המכפלה היא פשוט מכפלה קרטזית של אוסף הקבוצות. בהינתן משפחה של קבוצות Xi, המכפלה מוגדרת על ידי:
\prod_{i \in I} X_i := \{(x_i)_{i \in I} | x_i \in X_i \, \forall i \in I\}

וההטלות הקנוניות הן

\pi_j : \left( \prod_{i \in I} X_i \right) \to X_j \mathrm{ , } \quad \pi_j((x_i)_{i \in I}) := x_j

בהינתן קבוצה כלשהי Y ואוסף של פונקציות

\,f_i : Y \to X_i

המורפיזם האוניברסלי f נתון על ידי

f:Y \to \prod_{i \in I} X_i \mathrm{ , } \quad f(y) := (f_i(y))_{i \in I}
  • בקטגוריה של מרחבים טופולוגים, המכפלה נתונה על ידי מכפלה של מרחבים טופולוגים. כקבוצה, המכפלה שווה למכפלה הקרטזית של הקבוצות מהן מורכבים המרחבים הטופולוגים, והטופולוגיה היא הטופולוגיה החלשה ביותר בה ההטלות הן פונקציות רציפות. ההטלות הן, שוב, כמו בקטגוריה של קבוצות, ועקב בחירת הטופולוגיה על המכפלה הן מהוות פונקציות רציפות, ולפיכך מורפיזמים בקטגוריה של מרחבים טופולוגים.

קיום ויחידות[עריכת קוד מקור | עריכה]

לא בכל קטגוריה C קיימת לכל משפחה \,\{X_i\} מכפלה. אם קיימת המכפלה אז היא יחידה במובן הבא: אם \,\pi_i:X\rightarrow X_i ו-\,\pi'_i:X'\rightarrow X_i הן זוג מכפלות של המשפחה \,\{X_i\} אז קיים איזומורפיזם יחיד \,f:X\rightarrow X' כך ש \,\pi_i=\pi'_i\circ f.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]