ממד האוסדורף

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

ממד האוסדורף הוא הכללה של מושג הממד. זהו מספר ממשי לא שלילי המשויך למרחב מטרי. הציג אותו בשנת 1918 המתמטיקאי פליקס האוסדורף. רבות מהטכניקות הכרוכות בחישובו של ממד האוסדורף פותחו על ידי המתמטיקאי הרוסי אברהם בסיקוביץ', ולכן ממד האוסדורף קרוי לעתים ממד האוסדורף-בסיקוביץ'. לעתים רחוקות יותר הוא קרוי ממד פרקטלי.

רקע - ממד "נאיבי" וממד טופולוגי[עריכת קוד מקור | עריכה]

משולש שרפינסקי הוא קבוצה שממד האוסדורף שלה הוא ln 3 / ln 2, או (log2(3, שהוא בקירוב 1.58

באופן אינטואיטיבי, ממד של קבוצה (למשל תת-קבוצה של המרחב האוקלידי) מציין את מספר הפרמטרים הבלתי תלויים הנחוצים לציון מקומה של נקודה במרחב זה. מושג מתמטי שמייצג בקירוב גישה נאיבית זו הוא הממד הטופולוגי של הקבוצה. נקודה במישור, למשל, מתוארת באמצעות שני פרמטרים בלתי תלויים (הקואורדינטות הקרטזיות שלה), ולכן, במשמעות זו, המישור הוא דו-ממדי. כפי שניתן לצפות, ממד טופולוגי הוא תמיד מספר טבעי.

ממד טופולוגי מתנהג בדרכים לא צפויות כאשר מדובר בקבוצות מורכבות במיוחד, כגון פרקטלים. לקבוצת קנטור, למשל, יש ממד טופולוגי 0, אך מבחינה מסוימת היא מתנהגת כבעלת ממד גבוה יותר. ממד האוסדורף מאפשר להתמודד גם עם קבוצות כאלה.

ממד האוסדורף[עריכת קוד מקור | עריכה]

כדי להגדיר את ממד האוסדורף לקבוצה X, נתחשב תחילה במספר הכדורים, \ N(r), שרדיוסם אינו גדול מ-r, הנחוץ כדי לכסות את X לחלוטין. מובן שככל ש-r נעשה קטן יותר, (N(r גדל. באופן כללי, אם (N(r פרופורציונלי ל-\ 1/r^d כאשר r שואף ל-0, אנו אומרים שלקבוצה X יש ממד d. למעשה, הגדרה פורמלית של ממד האוסדורף נעשית באופן עקיף. מתברר שממד האוסדורף מחדד את מושג הממד הטופולוגי, ומקשר אותו לתכונות נוספות של המרחב, כגון שטח ונפח.

הגדרה פורמלית[עריכת קוד מקור | עריכה]

ניתן להגדיר את ממד האוסדורף במספר דרכים. להלן הגדרה באמצעות מידת האוסדורף.


יהי (X,\rho) מרחב מטרי כלשהו.

עבור תת-קבוצה U\subseteq X נגדיר את הקוטר של \ U כך:

\mathrm{diam}(U):=\sup\{\rho(x,y)|x,y\in U\}, \quad \mathrm{diam}(\emptyset):=0


יהי \ \delta>0, תהי S\subseteq X תת-קבוצה כלשהי ויהי \{ U_i \}_{i\in\mathbb{N}} כיסוי בן-מניה של S, כלומר S\subseteq \bigcup_{i\in\mathbb{N}} U_i

נאמר ש-\{U_i\} הוא \delta-כיסוי של \ S אם לכל i\in\mathbb{N} מתקיים :\operatorname{diam}(U_i)<\delta


יהי d\ge 0. לכל S\subseteq X ולכל \ \delta>0 נגדיר

H^d_\delta(S):=\inf\Bigl\{\sum_{i=1}^\infty \operatorname{diam}(U_i)^d\Bigl|\{U_i\}\mbox{ is }\delta\mbox{-cover} \Bigr\}

נשים-לב ש-H^d_\delta(S) מונוטונית עולה ככל ש-\delta קטנה (כי אז יש פחות כיסויים מותרים) לפיכך הגבול \lim_{\delta\to 0}H^d_\delta(S) קיים.


נגדיר את מידת האוסדורף החיצונית ה-d ממדית של S כך:

 H^d(S):=\sup_{\delta>0} H^d_\delta(S)=\lim_{\delta\to 0}H^d_\delta(S)


וכעת נגדיר את ממד האוסדורף של S להיות:

\operatorname{dim}_{\mathrm{H}}(S):=\inf\{d\ge 0|H^d(S)=0\}

כאשר \inf\emptyset=\infty

כלומר ממד האוסדורף של הקבוצה S הוא החסם התחתון של כל ה-d-ים עבורם מידת האוסדורף החיצונית ה-d ממדית של S היא אפס.

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

ממד פרקטלי[עריכת קוד מקור | עריכה]

ממד האוסדורף לרוב קשה מאוד לחישוב. עבור פרקטלים מסוימים ממד האוסדורף מתלכד עם הממד הפרקטלי. את הממד הפרקטלי קל יותר לחשב ולכן הוא שימושי יותר. נוסחת הממד הפרקטלי פועלת על פרקטל בעל תכונת הדמיון העצמי, שבה הפרקטל מורכב ממספר העתקים מוקטנים של עצמו. כלומר, אם נתמקד בחלק קטן של הפרקטל ונגדיל אותו בסקאלה המתאימה נקבל שוב את הפרקטל השלם.

הגדרה זו של הממד נותנת אינטואיציה חדשה לגבי מושג הממד.

הגדרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

הממד הפרקטלי של S מוגדר להיות:

d=\frac{\mbox{log}(m)}{\mbox{log}(r)} = \log_r (m)

כאשר:

  • r - גורם הכיווץ (כלומר פי כמה נצטרך להקטין את הפרקטל הגדול כדי לקבל עותק מוקטן שלו שמוכל בו).
  • m - מספר העותקים - הוא מספר העותקים של הפרקטל המוקטן פי r שמוכלים בפרקטל השלם.
  • d - זהו הממד הפרקטלי

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

מהו הממד של ריבוע? כאשר מחלקים ריבוע להרבה ריבועים קטנים, אם אורך הצלע של הריבוע הקטן הוא \ 1/r מאורך הצלע המקורית, אזי בריבוע הגדול יכנסו \ r^2 ריבועים קטנים. לכן: גורם הכיווץ הוא \ r, מספר העותקים הוא \ m=r^2 והממד הפרקטלי הוא:

\ d=\frac{\log{(r^2)}}{\log{(r)}}=\frac{2\log{(r)}}{\log{(r)}}=2

או

\ d=\log_r ({r^2})=2\log_r r=2

נשים לב שזו בדיוק התוצאה שהיינו מצפים לה מההגדרה המוכרת של ממד.

קבוצת קנטור היא קבוצה המתקבלת בתהליך איטרטיבי של חלוקת קטע ל 3 והסרת הקטע האמצעי, תהליך זה חוזר על עצמו לאורך כל תת-קטע וכך מתקבל פרקטל המוכל בקטע [0,1] בישר הממשי. מהו הממד של קבוצת קנטור?

  • בכל שלב באיטרציה אנו מחלקים את קבוצת קנטור לשני עותקים, כל עותק קטן פי 3 מהשלב הקודם. לכן, באיטרציה ה N יש לנו \ 2^N עותקים כאשר כל עותק אורכו קטן פי \ 3^N מהאורך המקורי. לכן,
  • \ d=\frac{\log(2^N)}{\log(3^N)} = \frac{N \log(2)}{N \log(3)} = \frac{\log(2)}{\log(3)} \approx 0.63

או

  • \ d=\log_{2^n} 3^n =\frac{N}{N} \log_2 3 = \log_2 3 \approx 0.63

כלומר, לקבוצת קנטור יש ממד לא שלם שגדול מאפס אך קטן מאחד.

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]