מנרמל

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

בתורת החבורות, מנרמל (או נורמליזטור) של תת-חבורה H בחבורה G הוא תת-החבורה הגדולה ביותר של G שבה H נורמלית.

הגדרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

המנרמל של תת-חבורה \ H \leq G הוא אוסף כל האיברים של G המקיימים את התנאי \ xHx^{-1} = H. במלים אחרות, אלו האיברים \ x\in G שעבורם, הצמוד \ xhx^{-1} שייך ל-H לכל \ h\in H, ורק עבור h כזה. את המנרמל מקובל לסמן ב-\ \operatorname{N}_G(H), כך ש- \ \operatorname{N}_G(H) = \{x \in G : xHx^{-1} = H\}.

כאשר מדובר בחבורות סופיות (ואפילו אם H בלבד סופית), הקבוצה \ \{x \in G : xHx^{-1} \subseteq H\} שווה למנרמל. עם זאת, באופן כללי התנאי \ xHx^{-1}\subseteq H חלש מתנאי השוויון, והוא מגדיר קבוצה המכילה את המנרמל, ועשויה להיות שונה ממנו. קבוצה זו סגורה לכפל, אבל אינה בהכרח סגורה לפעולת ההיפוך. לדוגמה, בחבורת Baumslag-Solitar \ \langle a,b\,|\, aba^{-1}=b^2 \rangle, האיבר a אינו שייך למנרמל של תת-החבורה הציקלית \ \langle b \rangle, אף על פי ש-\ a\langle b\rangle a^{-1} \subset \,\langle b \rangle.

תכונות עיקריות[עריכת קוד מקור | עריכה]

מן ההגדרה ברור ש- \ H \subseteq \operatorname{N}_G(H), וש- H היא תת-חבורה נורמלית שם. המנרמל הוא תת-החבורה הגדולה ביותר שבה H נורמלית - כל תת-חבורה של G המכילה את H ושבה H נורמלית, מוכלת במנרמל של H. המנרמל שווה ל-G אם ורק אם H עצמה תת-חבורה נורמלית.

האינדקס של \ \operatorname{N}_G(H) שווה למספר תת-החבורות הצמודות ל-H. אפשר לראות בגודל המנרמל מדד ל"מידת הנורמליות" של תת-החבורה: המנרמל של H שווה ל-H כאשר היא רחוקה ביותר מלהיות נורמלית.

באופן כללי מתקיים \ H \subseteq \operatorname{N}_G(H) \subseteq \operatorname{N}_G(\operatorname{N}_G(H)) \subseteq \cdots. אם G היא חבורת-p אז \ H \subset \operatorname{N}_G(H) לכל \ H \subset G. לעומת זאת, אם P היא תת-חבורת סילו, אז \ \operatorname{N}_G(H) = H לכל H \supseteq \operatorname{N}_G(P).