מסילה (מתמטיקה)

בטופולוגיה, מסילה היא פונקציה רציפה של קטע ממשי כלשהו, (לרוב מתייחסים לקטע היחידה) במרחב טופולוגי. מסילות מאפשרות ללמוד את המבנה הפנימי של המרחב המדובר, למשל על ידי חקירת מרכיבי קשירות מסילתית, או על ידי מבנים של מסילות כדוגמת החבורה היסודית. מסילות מאפשרות גם לחקור שינוי רציף של מרחב אחד למשנהו, תחום שבו מטפלת תורת ההומוטופיות. בפיזיקה, אפשר לחשב פרמטרים של תנועה לאורך מסילה באמצעות אינטגרלים מסילתיים, שלהם תפקיד חשוב גם באנליזה מרוכבת.

תכונות של הפונקציה $\ \gamma : [0,1]\rightarrow X$ נקראות לעתים על-שם המסילה, שהיא כאמור תמונת הפונקציה. למשל, מסילה שתחומה הוא מרחב נורמי נקראת מסילה דיפרנציאבילית אם הפונקציה גזירה ברציפות בכל הקטע; מסילה דיפרנציאבילית למקוטעין היא מסילה שהפונקציה שלה גזירה ברציפות בכל הקטע, למעט מספר סופי של נקודות.

מסילה סגורה היא מסילה שנקודות הקצה שלה שוות זו לזו, כלומר $\ \gamma(0)=\gamma(1)$. מסילה שאינה מבקרת פעמיים באותה נקודה (פרט אולי לנקודות הקצה) נקראת מסילה פשוטה.

באנליזה מרוכבת, יש חשיבות למספר הפעמים שמסילה נתונה במישור המרוכב מקיפה נקודה שאיננה על המסילה. מספר זה נקרא האינדקס של המסילה ביחס לנקודה, והוא מוגדר על-פי הנוסחה $\ n(\gamma,a)=\frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma} \frac{1}{z-a}\, dz$, המחזירה מספר שלם עבור כל מסילה דיפרנציאבילית סגורה. אם המסילה נעה נגד כיוון השעון האינדקס יהיה חיובי, בעוד שהאינדקס של המסילה ההפוכה $\ t\mapsto \gamma(1-t)$ יהיה שלילי.

שרשור מסילות - הוא יצירת מסילה חדשה משתי מסילות קיימות. למשל אם קיימות שתי מסילות α:[0,1] →X , β:[1,2]→X כאשר שתי המסילות מזדהות בנקודה 1 ((1)β(1)=α), שרשור המסילות תהיה מסילה חדשה שתחומה [0,2] המעניקה את הערכים של המסילה α בין 0 ל- 1, ואת תחום המסילה β בין 1 ל- 2.

ראו גם

• אינטגרל מסילתי
• קשירות מסילתית