מספרים חיוביים ושליליים

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

מספר חיובי הוא מספר ממשי הגדול מ-0. מספר זה שווה לערך המוחלט של עצמו. המספרים החיוביים הם תת-קבוצה של קבוצת המספרים האי-שליליים, הכוללת את כל המספרים החיוביים וכן את המספר 0.

מספר שלילי הוא מספר הקטן מ-0. ערכו המוחלט של מספר שלילי שווה למספר הנגדי לו. מספר שלילי נכתב עם סימן מינוס לפניו. לדוגמה, 5- מבטא מספר שלילי שערכו המוחלט הוא 5. השימוש במספרים מכוּונים בחיי יומיום הוא רב. למשל במדידת טמפרטורות (מעל ומתחת לאפס), במדידת גבהים (מעל ומתחת לגובה פני הים) ובקביעת מצב חשבון הבנק (יתרה חיובית ויתרה שלילית). כאשר נהגה רעיון המספרים השליליים, הדבר קודם בסערה, כיוון שבאותה העת היה זה צעד מאוד לא אינטואיטיבי, ואף התפרסמו מאמרי ביקורת אשר יצאו נגד המספרים החדשים.

מספרים חיוביים ושליליים יחד נקראים "מספרים מכוונים".

היסטוריה[עריכת קוד מקור | עריכה]

אוקלידס, בספרו "יסודות", זיהה את המושג "מספר" עם אורך של קטע, וכך קיבע אל תוך המחשבה המערבית את התפיסה שלפיה המספרים השליליים אינם "אמיתיים", אלא לכל היותר כלי עזר לחישוב. במאות ה-15 וה-16 הקונצנזוס באירופה היה שמספרים שליליים הם אבסורדיים.

ז'אן לה-רון ד'אלמבר, בחיבורו "הבהרה על יסודות האלגברה" (סביבות 1765) כתב: "יש המתייחסים אליהם [אל המספרים השליליים] כאל פחות ממאומה, מושג אבסורדי בפני עצמו; יש המתייחסים אליהם כאל חוב - רעיון מוגבל, ובשל כך בלתי מדויק; אחרים רואים בהם גדלים הפוכים בכיוונם לחיובי - רעיון שהגאומטריה תומכת בו בדוגמאות, אך יש לו יוצאי דופן תכופים". ב-1758 כתב פרנסיס מסרס (1731-1824), חבר ה-Clare College בקיימברידג' "תזה על השימוש בסימן השלילי באלגברה", ובה דחה את הרעיון של מספרים שליליים כשלעצמם. בפרט, הוא טען, לא ייתכן שלמספר יהיו שני שורשים שונים (חיובי ושלילי).

גישה זו השתנתה רק באמצע המאה ה-19, עם תחילת עלייתה של האלגברה המופשטת. בשנת 1843 כתב אוגוסטוס דה מורגן: "היצירים האלה [המספרים השליליים] זכו בקיומם, למרות החוסר הברור בהסבר רציונלי, המאפיין כל נסיון לתאוריה שלהם". עם זאת, כיסי התנגדות למושג המספר השלילי נותרו עד זמן מאוחר כסוף המאה ה-19. ב-1890 כתב אנטוניו חוסה טייקסאירה (1830-1900) ש"לכמויות שליליות אין כל קיום אריתמטי".

במזרח הרחוק, לעומת זאת, המספרים השליליים טופלו באותם כלים כמו המספרים החיוביים: בסין, כבר מן המאה ה-2 לפני הספירה מוטות אדומים, ממוזלים, סימנו מספרים חיוביים, ומוטות שחורים סימנו מספרים שליליים. המספרים השליליים הוכרו כלגיטימיים בשלבי הביניים של פתרון הבעיה, אבל לא כתוצאה סופית. כללים מפורשים לטיפול במספרים שליליים מופיעים אצל בראהמגופטה בהודו, בסביבות שנת 650 לספירה.

פונקציות ופעולות על מספרים חיוביים ושליליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • כפל - באופן כללי הכפלת מספר שלילי בחיובי יוצרת מספר שלילי , והכפלת שלילי בשלילי יוצרת חיובי. לדוגמה -2 \cdot -15 = 30.
  • חזקה - כאשר מספר שלילי נמצא במעריך , אין בעיה להגדיר חזקה: x^{-n} = \frac{1}{x^{n}}. כאשר רוצים להגדיר חזקה את מספר שלילי במספר מרוכב ניתן להגדיר אותה כך:(-x)^{t} = x^t(-1^{t})=x^t(e^{it\pi})=x^t(i\sin{t\pi}+\cos{t\pi}). מקרה זה מכליל את \sqrt{-n^2}=in. לדוגמה (-16)^{\frac{-3}{4}}
 = \frac{i+1}{8\sqrt{2}}.
  • עצרת - עצרת של מספר שלילי נקבעת ע"פ פונקציית גמא. במספרים שליליים שלמים יש קוטב , אך בשאר הנקודות אין בעיה בהגדרה.
  • פונקציית זטא של רימן - עבור שלמים שליליים מתקיים \zeta \left (-n\right) = - \frac{B_{n+1}}{n+1} כאשר B_{n+1} הוא מספר ברנולי הn+1.לדוגמה \zeta(-1)= \frac{-1}{12}.
  • לוגריתם - לצורך הגדרת הלוגוריתם של מספרים שליליים נשתמש לצורך העניין בln שעלפיו ניתן להגדיר בקלות לוגוריתם על כל בסיס אחר.ניתן להגדירו כך: \ln{-n}= \ln{(-1)}+\ln{n} = i\pi + \ln {n}.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]


P mathematics.svg ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.