מספרים ידידים

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

במתמטיקה, זוג מספרים הם ידידים אם כל אחד מהם שווה לסכום מחלקיו של האחר (כאשר בין המחלקים אין סופרים את המספר עצמו). מספרים כאלה נקראים גם ידידותיים, רֵעִים, עמיתים או נאהבים.

הזוג הקטן ביותר של מספרים ידידים הוא (220,284):

  • מחלקי המספר 220 הם 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 ו-110, וסכומם הוא 284.
  • מחלקי המספר 284 הם 1, 2, 4, 71 ו-142, וסכומם הוא 220.

מספרים כאלה היו כבר ידועים לפיתגוראים, שייחסו להם סגולות מיסטיות.

קיימת נוסחה כללית שנותנת זוגות מספרים ידידים (אך לא את כל הזוגות). נוסחה זו נקראת נוסחת תאביט, על-שם המתמטיקאי הערבי ת'אבת אבן קורה. אם

\,p=3\cdot 2^n-1
\,q=3\cdot 2^{n-1}-1
\,r=9\cdot 2^{2n-1}-1

הם שלושתם מספרים ראשוניים, כאשר \,n טבעי, אז המספרים \,2^nr ו-\,2^npq הם ידידים זה לזה. נוסחה זו נותנת למשל את הזוגות (220,284), (17296,18416) ו-(9363584,9437056), אך לא את זוג המספרים (6232,6368).

מספרים ידידותיים ותכונותיהם נחקרו על ידי מתמטיקאים כגון פייר דה פרמה, רנה דקארט ולאונרד אוילר. הזוג השני בגודלו, (1184,1210), חמק משום מה מעיניהם של המתמטיקאים הדגולים, והתגלה ב-1866 על ידי נער איטלקי בן 16 בשם ניקולו פגניני. כיום (מעודכן ל-1/10/2007) ידועים 11,994,387 זוגות של מספרים ידידותיים.

סביב המספרים הידידים קיימות כמה בעיות פתוחות:

  • האם ישנם אינסוף זוגות של מספרים ידידים?
  • ידועים זוגות מספרים ידידים ששניהם זוגיים, או ששניהם אי-זוגיים. האם ישנם זוגות שבהם האחד זוגי והאחר אי-זוגי?
  • בכל הזוגות שנתגלו עד כה, קיים לשני המספרים גורם משותף גדול מאחד. האם קיים זוג מספרים ידידים זרים?

מספר שהוא מספר ידיד לעצמו נקרא מספר משוכלל. מספרים ידידים הם מקרה פרטי של מספרים חברותיים.

מספרים ידידים בתרבות[עריכת קוד מקור | עריכה]

בעבר הרחוק, מספרים ידידים היוו סמל לזוגיות ולרומנטיקה. כך, לדוגמה, אדם אשר ביקש להביע את אהבתו לאישה, היה מכין שני תליונים - האחד נושא את המספר 220 והשני את המספר 284 - ונותן אחד מהם לאהובתו.[דרוש מקור]

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]