מספרי אוילר

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

מספרי אוילר הם המקדמים בפיתוח לטור טיילור של פונקציית סקאנט היפרבולי (אחד חלקי הקוסינוס ההיפרבולי):

\operatorname{sech}(t)=\frac{1}{\cosh t} = \frac{2}{e^t + e^{-t}} = \sum_{n=0}^{\infin}  \frac{E_n}{n!} \cdot t^n\!.

ניתן לחשב את המקדמים על ידי נוסחת הנסיגה: \ E_0=1; E_n = -\sum_{k=0}^{n-1}\binom{n}{k}E_k.

ובקירוב: E_{2n}\approx (-1)^n 8 \sqrt{\frac{n}{\pi}} (\frac{4n}{\pi e})^{2n}

  • סקאנט: \sec x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n E_{2n}}{(2n)!} x^{2n}\quad\mbox{ for } \left| x \right| < \frac{\pi}{2}
\int_0^\infty \frac{\ln^n(x)}{1+x^2}\, dx=|E_n|\left(\frac{\pi}{2}\right)^{n+1}

מכיוון שהקוסינוס ההיפרבולי הוא פונקציה זוגית, המקדמים האי-זוגיים הם אפס. עשרת המקדמים הזוגיים הראשונים מופעים להלן:

E0 = 1
E2 = −1
E4 = 5
E6 = −61
E8 = 1,385
E10 = −50,521
E12 = 2,702,765
E14 = −199,360,981
E16 = 19,391,512,145
E18 = −2,404,879,675,441.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]