מספר אור

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

במתמטיקה, מספר מחלק-הרמוני, או מספר אור (Ore), ולעתים אף מספר אור-הרמוני, על-שם המתמטיקאי הנורבגי אוישטיין אור (Øystein Ore) שהגדיר את המספרים הללו בשנת 1948, הוא מספר טבעי חיובי שהממוצע ההרמוני של המחלקים שלו הוא מספר שלם. הראשונים מבין מספרי אור הם: 1, 6, 28, 140, 270, 496, 672, 1638, 2970, 6200, 8128, 8190.

לדוגמה, 6 הוא מספר אור, משום שיש לו ארבעה מחלקים, 1, 2, 3, ו-6 עצמו, שהממוצע ההרמוני שלהם הוא מספר שלם:

 \frac{4}{\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}}=2

ל-140 יש שנים-עשר מחלקים והם 1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, ו-140 עצמו. הממוצע ההרמוני שלהם הוא:


 \frac{12}{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\frac{1}{10}
+\frac{1}{14}+\frac{1}{20}+\frac{1}{28}+\frac{1}{35}+\frac{1}{70}+\frac{1}{140}}=5

גם כאן התוצאה היא מספר שלם, ולכן גם 140 הוא מספר אור.

מספרי אור ומספרים מושלמים[עריכת קוד מקור | עריכה]

אור הבחין שלכל מספר שלם כלשהו M, מכפלת הממוצע ההרמוני והממוצע החשבוני של מחלקיו שווה ל-M עצמו [1]. מכאן נובע שM הוא מספר אור-הרמוני אם ורק אם הממוצע (החשבוני) של מחלקיו מחלק את M.

אור הראה שכל מספר מושלם הוא גם אור-הרמוני. כדי להיווכח בכך, שים-לב שסכום המחלקים של מספר מושלם M הוא בדיוק 2M. לכן, הממוצע (החשבוני) של המחלקים הוא 2M\over d(M), כאשר d(M)‎ הוא מספר המחלקים של M. לכל M, \ d(M) הוא מספר אי-זוגי אם ורק אם M הוא מספר ריבועי, מכיוון שאחרת ניתן לזווג לכל מחלק m של M, מחלק שונה ממנו, M/m. אך מספר מושלם אינו יכול להיות מספר ריבועי. הדבר נובע מהצורה הידועה של מספרים מושלמים זוגיים ומהעובדה שלמספרים מושלמים אי-זוגיים (אם הם קיימים) חייב להיות גורם מהצורה q^\alpha, כאשר α ≡ 1 (mod 4)‎. לכן, עבור מספר מושלם כלשהו M, \ d(M); הוא זוגי והממוצע (החשבוני) של המחלקים הוא \ \frac{2M}{d(M)}. לכן M הוא מספר אור-הרמוני.

אור שיער ש-1 הוא המספר האי-זוגי היחיד שהוא גם אור-הרמוני. אם ההשערה נכונה, פירוש הדבר הוא שלא קיימים מספרים מושלמים אי-זוגיים.

חסמים וחיפושים באמצעות מחשב[עריכת קוד מקור | עריכה]

W. H. Mills הראה‏[2] שלכל מספר אור אי-זוגי הגדול מ-1 חייב להיות גורם ראשוני שחזקתו גדולה מ-107, ו-Cohen הראה שלכל מספר כזה יש לפחות שלושה גורמים ראשוניים שונים.

Cohen,‏ Goto ואחרים כולל אור עצמו, החלו להשתמש במחשבים כדי לחפש מספרי אור קטנים. תוצאות החיפושים הללו הם רשימות של כל מספרי אור עד לבערך 2×109, ושל כל מספרי אור שהממוצע ההרמוני של מחלקיהם הוא 300 לכל-היותר.

תכונות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • אם n הוא מספר אור-הרמוני שאינו מתחלק בשום מספר ריבועי אז n = 1 או n = 6‏[3].
  • אם n הוא מספר שקול ל-3‎ (mod 4)‎, אז n הוא לא אור-הרמוני‏[4].
  • אם n הוא מספר אור-הרמוני וגם מכפלה של שתי חזקות של מספרים ראשוניים, אז n הוא מספר מושלם זוגי‏[5].

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. ^ אם d הוא מספר המחלקים והסכום עובר על כל המחלקים m של M, אז \ \frac{d}{\sum \frac{1}{m}} \cdot \frac{\sum m}{d} = \sum m\cdot \frac{M}{\sum \frac{M}{m}} = \sum m\cdot \frac{M}{\sum m} = M
  2. ^ אך לא פרסם. ראו Muskat, Joseph B. (1966). "On Divisors of Odd Perfect Numbers". Mathematics of Computation 20 (93): 141–144. doi:10.2307/2004277.
  3. ^ ראו Ore, Øystein (1948). "On the averages of the divisors of a number". American Mathematical Monthly 55: 615–619.
  4. ^ ראו M. Garcia, "On numbers with integral harmonic mean", American Mathematical Monthly 61 (1954), 89-96.
  5. ^ ראו C. Pomerance, Abstract 709-A5, Notices American Mathematical Monthly 20 (1973) A-648.