מספר אור

במתמטיקה, מספר מחלק-הרמוני, או מספר אור (Ore), ולעתים אף מספר אור-הרמוני, על-שם המתמטיקאי הנורבגי אוישטיין אור (Øystein Ore) שהגדיר את המספרים הללו בשנת 1948, הוא מספר טבעי חיובי שהממוצע ההרמוני של המחלקים שלו הוא מספר שלם. הראשונים מבין מספרי אור הם: 1, 6, 28, 140, 270, 496, 672, 1638, 2970, 6200, 8128, 8190.

לדוגמה, 6 הוא מספר אור, ולו ארבעה מחלקים 1, 2, 3, ו-6 עצמו. הממוצע ההרמוני שלהם הוא מספר שלם:

$\frac{4}{\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}}=2$

ל-140 יש שנים-עשר מחלקים והם 1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, ו-140 עצמו. הממוצע ההרמוני שלהם הוא:

$\frac{12}{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\frac{1}{10} +\frac{1}{14}+\frac{1}{20}+\frac{1}{28}+\frac{1}{35}+\frac{1}{70}+\frac{1}{140}}$

ביטוי זה שווה ל-5, שהוא שלם, ולכן 140 הוא מספר אור.

מספרי אור ומספרים מושלמים

אור הבחין שלכל מספר שלם כלשהו M, מכפלת הממוצע ההרמוני והממוצע החשבוני של מחלקיו שווה ל-M עצמו . מכאן נובע שM הוא מספר אור-הרמוני אם ורק אם הממוצע (החשבוני) של מחלקיו מחלק את M.

אור הראה שכל מספר מושלם הוא גם אור-הרמוני. כדי להיווכח בכך, שים-לב שסכום המחלקים של מספר מושלם M הוא בדיוק 2M. לכן, הממוצע (החשבוני) של המחלקים הוא $2M\over d(M)$;, כאשר &d;(M)‎ הוא מספר המחלקים של M. לכל M, $\ d(M)$ הוא מספר אי-זוגי אם ורק אם M הוא מספר ריבועי, מכיוון שאחרת ניתן לזווג לכל מחלק m של M, מחלק שונה ממנו, M/m. אך מספר מושלם אינו יכול להיות מספר ריבועי. הדבר נובע מהצורה הידועה של מספרים מושלמים זוגיים ומהעובדה שלמספרים מושלמים אי-זוגיים (אם הם קיימים) חייב להיות גורם מהצורה $q^\alpha$, כאשר α ≡ 1 (mod 4)‎. לכן, עבור מספר מושלם כלשהו M, $\ d(M)$; הוא זוגי והממוצע (החשבוני) של המחלקים הוא $\ \frac{2M}{d(M)}$. לכןM הוא מספר אור-הרמוני.

אור שיער ש-1 הוא המספר האי-זוגי היחיד שהוא גם אור-הרמוני. אם ההשערה נכונה, פירוש הדבר הוא שלא קיימים מספרים מושלמים אי-זוגיים.

חסמים וחיפושים באמצעות מחשב

W. H. Mills הראה שלכל מספר אור אי-זוגי הגדול מ-1 חייב להיות גורם ראשוני שחזקתו גדולה מ-10⁷, ו-Cohen הראה שלכל מספר כזה יש לפחות שלושה גורמים ראשוניים שונים.

Cohen,‏ Goto ואחרים כולל אור עצמו, החלו להשתמש במחשבים כדי לחפש מספרי אור קטנים. תוצאות החיפושים הללו הם רשימות של כל מספרי אור עד לבערך 2×10⁹, ושל כל מספרי אור שהממוצע ההרמוני של מחלקיהם הוא 300 לכל-היותר.

תכונות

• אם n הוא מספר אור-הרמוני שאינו מתחלק בשום מספר ריבועי אז n = 1 או n = 6 .
• אם n הוא מספר שקול ל-3‎ (mod 4)‎, אז n הוא לא אור-הרמוני .
• אם n הוא מספר אור-הרמוני וגם מכפלה של שתי חזקות של מספרים ראשוניים, אז n הוא מספר מושלם זוגי.

ראו גם

• מספר משוכלל
• שבר יסודי
• פונקציית מחלקים

קישורים חיצוניים

• מספר אור, באתר MathWorld (באנגלית)

• Goto, Takeshi. (Ore's) Harmonic Numbers. Retrieved on 2006-09-10
• Cohen, Graeme L. (1997). "Numbers Whose Positive Divisors Have Small Integral Harmonic Mean". Mathematics of Computation 66: 883–891