מספר טרסקי

מספר טרסקי של חבורה $G$ הוא מדד מספרי למרחק של החבורה מתכונת האמנביליות, המכמת ומכליל את פרדוקס בנך-טרסקי. מספר טרסקי מוגדר כמספר הקטן ביותר של חלקים בפירוק פרדוקסלי של החבורה (ראו להלן). לחבורה סופית, ובאופן כללי יותר לחבורה קומפקטית, אין פירוקים פרדוקסליים. על-פי משפט טרסקי, לחבורה $G$ קיימת חלוקה פרדוקסלית אם ורק אם $G$ אינה אמנבילית; לכן מספר טרסקי הוא סופי אם ורק אם החבורה אינה אמנבלית.

הגדרה

תהי $G$ חבורה. פירוק של G לקבוצות זרות $A_{1},\dots ,A_{m},B_{1},\dots ,B_{n}\subseteq G$ נקרא פירוק פרדוקסלי אם יש איברים $g_{1},\dots ,g_{m},h_{1},\dots ,h_{n}\in G$ כך ש $G=\bigcup _{i=1}^{m}A_{i}g_{i}=\bigcup _{j=1}^{n}B_{j}h_{j}$.

אם ל-$G$ קיים פירוק פרדוקסלי, מספר טרסקי של $G$, המסומן ${\mathcal {T}}(G)$, מוגדר להיות המספר המינימלי של חלקים $m+n$ בחלוקה פרדוקסלית שלה. אם אין פירוק כזה, מספר טרסקי של $G$ מוגדר להיות אינסוף.

קיימת בספרות הגדרה נוספת של פירוק פרדוקסלי של חבורה. בהגדרה זו, מתווספת הדרישה ש $A_{1},\dots ,A_{m},B_{1},\dots ,B_{n}$ יהוו חלוקה של $G$ והדרישה שהאיחודים $\bigcup _{i=1}^{m}A_{i}g_{i}$ ו-$\bigcup _{j=1}^{n}B_{j}h_{j}$ יהיו איחודים זרים. השוני בהגדרה לא משפיע על הערך המספרי של מספר טרסקי, המוגדר בשני המקרים להיות המספר המינימלי של חלקים בפירוק פרדוקסלי של החבורה.

מספרי טרסקי של חבורות

מכיוון שהזזה של תת-קבוצה אמיתית אינה יכולה לכסות את החבורה, בכל חלוקה פרדוקסלית מספרי החלקים מקיימים $m,n\geq 2$. לכן, מספר טרסקי של חבורה הוא לכל הפחות ארבע.

ב-2013 הוכיח מרק ספיר כי קיימות חבורות בעלות מספרי טרסקי סופיים גדולים כרצוננו. יתר על כן, לכל $n$ גדול מספיק, קיימת חבורה בעלת מספר טרסקי בין $n$ ל $2n$. למרות זאת, המספרים היחידים המהווים בוודאות מספרי טרסקי של חבורות הם $5,4$ ו-$6$.

חבורות חופשיות

תהי $F=\langle a,b\rangle$ חבורה חופשית מדרגה 2. לכל אות $c\in \{a,a^{-1},b,b^{-1}\}$, נגדיר את הקבוצה $X_{c}$ להיות קבוצת כל המילים המצומצמות ב $F$ הנגמרות ב $c$. אזי, $X_{a},X_{a^{-1}},X_{b},X_{b^{-1}}$ הן תתי קבוצות זרות של $F$. כמו כן $F=X_{a}a^{-1}\cup X_{a^{-1}}=X_{b}b^{-1}\cup X_{b^{-1}}$. לכן, מספר טרסקי של $F$ הוא לכל היותר 4. לפי האמור לעיל, ${\mathcal {T}}(F)=4$. מכאן נתן להסיק (בעזרת תכונה 1 למטה) כי אם לחבורה $G$ יש תת-חבורה חופשית לא אבלית אז מספר טרסקי של $G$ הוא $4$. על פי משפט של ג'ונסון ודקר ההפך גם נכון: אם מספר טרסקי של חבורה $G$ הוא $4$ אז ל $G$ יש תת-חבורה חופשית לא אבלית.

השערת וון ניומן-דיי, שהופרכה ב 1980 על ידי אולשנסקי, טענה כי כל חבורה לא אמנבילית מכילה תת-חבורה חופשית לא אבלית. במונחים של מספרי טרסקי, ההשערה טענה כי לא קיימות חבורות לא אמנביליות בעלות מספר טרסקי $4<$. לכן, חבורות לא אמנביליות בעלות מספרי טרסקי גדולים יכולות להיחשב דוגמאות נגדיות חזקות להשערה.

תכונות של מספרי טרסקי

תהי $G$ חבורה.

1. אם $H$ היא תת-חבורה או תמונה הומומורפית של $G$, אז ${\mathcal {T}}(G)\leq {\mathcal {T}}(H)$.
2. אם $H\leq G$ היא תת-חבורה מאינדקס סופי. אז ${\mathcal {T}}(H)-2\leq [G:H]({\mathcal {T}}(G)-2)$.
3. אם $H\triangleleft G$ היא תת-חבורה נורמלית אמנבילית אז ${\mathcal {T}}(G)={\mathcal {T}}(G/H)$.
4. אם $G$ חבורה מפותלת, אז ${\mathcal {T}}(G)\geq 6$.
5. באופן כללי יותר, אם כל תת-חבורה נוצרת-$k$ של $G$ היא סופית, אז ${\mathcal {T}}(G)\geq 2k+4$.
6. אם כל תת-חבורה נוצרת-$k$ של $G$ היא אמנבילית, אז ${\mathcal {T}}(G)\geq k+3$.

הכללה: פעולה של חבורה על קבוצה

ניתן להכליל את ההגדרות של חלוקה פרדוקסלית ומספר טרסקי למקרה של פעולת חבורה על קבוצה.

הגדרה: תהי $G\curvearrowright X$ פעולה של חבורה על קבוצה. נגיד כי ל $G\curvearrowright X$ קיימת חלוקה פרדוקסלית אם קיימים $m,n$ טבעיים, תתי קבוצות זרות $A_{1},\dots ,A_{m},B_{1},\dots ,B_{n}\subset X$ ואיברים $g_{1},\dots ,g_{m},h_{1},\dots ,h_{n}\in G$ כך ש-$X=\bigcup _{i=1}^{m}g_{i}A_{i}=\bigcup _{j=1}^{n}h_{j}B_{j}$.

מספר טרסקי של הפעולה, המסומן ${\mathcal {T}}(G\curvearrowright X)$, הוא המספר המינימלי של חלקים $m+n$ המשתתפים בחלוקה פרדוקסלית שלה. כך, מספר טרסקי של חבורה $G$, הוא למעשה מספר טרסקי של הפעולה של $G$ על עצמה באמצעות כפל מימין.

אם $\ G\curvearrowright X$ והמייצב של כל $x\in X$ הוא אמנבילי, אז ${\mathcal {T}}(G\curvearrowright X)={\mathcal {T}}(G)$.

בשנת 2014, הוכיחה גילי גולן שכל מספר $n\geq 4$ הוא מספר טרסקי של פעולה טרנזיטיבית נאמנה של חבורה חופשית לא אבלית.

מקורות

1. S. Wagon, The Banach-Tarski paradox, Cambridge University Press, (1985).
2. T. Ceccherini-Silberstein, R. Grigorchuk and P. de la Harpe, Amenability and paradoxical decompositions for pseudogroups and discrete metric spaces, Proc. Steklov Inst. Math. 224 (1999), no. 1, 57 –97.
3. M. Ershov, G. Golan and M. Sapir, The Tarski numbers of groups, http://arxiv.org/abs/1401.2202.
4. G. Golan, Tarski numbers of group actions, preprint (2014), http://arxiv.org/abs/1406.5689
5. N. Ozawa and M. Sapir, Non-amenable groups with arbitrarily large Tarski number?, mathoverflow question 137678.

ראו גם

• הפרדוקס של בנך-טרסקי

קישורים חיצוניים

מספרי טרסקי של חבורות - הרצאה מאת מרק ספיר (באנגלית)