מספר נורמלי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

במתמטיקה, מספר נורמלי הוא מספר ממשי שהספרות שלו מתנהגות כאילו הוגרלו באקראי, כאשר לכל ספרה יש הסתברות שווה להופיע. לצורך הגדרה זו מספיק להתייחס לספרות שמימין לנקודה העשרונית. למרות העובדה שכמעט כל מספר ממשי הוא נורמלי, קשה ביותר להוכיח שמספר נתון הוא כזה. מספרים רציונליים אינם נורמליים, ומשערים שכל מספר אלגברי שאיננו רציונלי הוא נורמלי. ידועה גם ההשערה שפאי נורמלי.

הגדרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

יהי b מספר שלם גדול מ- 1, ויהי x מספר ממשי. לכל סדרה סופית s של ספרות בבסיס b, נסמן ב- \ N_n(s,x) את מספר הפעמים שהרצף s מופיע ב- n הספרות הראשונות של x. בנוסף, נסמן את האורך של s (בספרות) בסימון \ ||s||.

הגדרה. אומרים ש- x נורמלי ביחס לבסיס b, אם לכל s, הסדרה \ \frac{N_n(s,x)}{n} מתכנסת ל- \ b^{-||s||}. מספר שהוא נורמלי ביחס לכל בסיס הוא מספר נורמלי.

אפשר, במקום לבחון מספר נתון x, לבנות מספר X על ידי הגרלת הספרות באקראי, בזו אחר זו, כאשר הספרות שוות הסתברות ובלתי תלויות. במקרה כזה, X יהיה נורמלי בהסתברות 1. במלים אחרות, 'נורמליות' היא התכונה שמציג מספר "חסר תכונות", שנבחר באקראי.

כדי שמספר יהיה נורמלי ביחס לבסיס b, אין זה מספיק שהספרות בהצגה שלו לפי אותו בסיס יהיו בעלות שכיחות שווה - נורמליות דורשת שכל הרצפים באותו אורך יקיימו תכונה זו. למרות זאת, אם הספרות של x הן שוות שכיחות, וזאת בכל בסיס, אז x נורמלי (ביחס לכל בסיס).

תכונות[עריכת קוד מקור | עריכה]

את המושג טבע אמיל בורל ב-1909. בורל הוכיח (בעזרת הלמה של בורל-קנטלי) שכמעט כל מספר ממשי הוא נורמלי: מידת לבג של קבוצת המספרים שאינם נורמליים היא אפס. משפט זה מראה שמספרים נורמליים קיימים, בלי להצביע על אף מספר כזה במפורש. המספר העשרוני \ 0.123456789101112131415..., המתקבל מהדבקת המספרים הטבעיים זה אחר זה, בייצוג עשרוני, הוא נורמלי בבסיס 10 (אנ').

קל לראות שמספרים רציונליים אינם נורמליים ביחס לאף בסיס (הפיתוח לפי בסיס b של מספר רציונלי הוא תמיד סופי או מחזורי). יתרה מזו, קבוצת המספרים שאינם נורמליים ביחס לבסיס נתון היא מעוצמת הרצף (היא כוללת, לדוגמה, את כל המספרים המורכבים מרצפי הספרות 01 ו- 10).

משערים שכל מספר אלגברי שאינו רציונלי הוא נורמלי, אבל ניתוח הספרות של מספרים אלגבריים קשה ביותר, ולא ידועה אפילו דוגמה אחת למספר אלגברי נורמלי (ביחס לבסיס כלשהו). משערים גם שמספרים כגון e ופאי הם נורמליים - למרות שלא ידוע אפילו האם כל ספרה מופיעה בפיתוח העשרוני של פאי אינסוף פעמים.