מספר פרמה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

בתורת המספרים, מספרי פרמה הם מספרים טבעיים מהצורה F_{n} = 2^{2^n} + 1, כאשר \,n הוא מספר שלם לא שלילי. המספרים קרויים על שם המתמטיקאי הצרפתי פייר דה פרמה שחקר אותם לראשונה.

ניתן להוכיח שכאשר \, {2^n} + 1 הוא מספר ראשוני, \,n חייב להיות חזקה של 2. מכאן: כל מספר ראשוני מהצורה \, {2^n} + 1 הוא מספר פרמה, ומספר ראשוני כזה קרוי ראשוני פרמה. פרמה הבחין שחמשת המספרים הראשונים בסדרה,

F0 = 21 + 1 = 3
F1 = 22 + 1 = 5
F2 = 24 + 1 = 17
F3 = 28 + 1 = 257
F4 = 216 + 1 = 65,537,

הם ראשוניים, וקבע (בסביבות 1640) שכל המספרים בסדרה הם ראשוניים. כמאה שנים אחר-כך גילה לאונרד אוילר שהמספר הבא בסדרה אינו ראשוני: \ F_5 = 2^{2^5}+1=4,294,967,297 = 641 \cdot 6,700,417. יתרה מזו, אוילר הראה שכל גורם ראשוני של \ F_n מוכרח להיות מהצורה \ 2^{n+1}k+1 (הוכחה: אם \ 2^{2^n}+1\equiv 0 \pmod{p} אז הסדר של 2 בחבורת אוילר של p הוא \ 2^{n+1}, ולכן מספר זה מחלק את סדר החבורה שהוא p-1). הגורם 641 הוא הראשוני החמישי בלבד מהצורה \ 64k+1. מאז התגלו גורמים ראשוניים של מספרי פרמה רבים, כגון \ F_6 = 2^{2^6}+1 = 18,446,744,073,709,551,617 = 274,177 \cdot 67,280,421,310,721, ולא נמצא אף ראשוני פרמה נוסף.

אחת התכונות המעניינות של מספרי פרמה הוא הקשר שלהם לבעיות של ימי קדם. גאוס הוכיח שניתן לבנות עם סרגל ומחוגה מצולע משוכלל בן \,p צלעות, כאשר \,p ראשוני, אם ורק אם \,p הוא ראשוני פרמה. ובאופן כללי ניתן לבנות מצולע משוכלל בן \,n צלעות (כאשר \,n>2 ) אם ורק אם n הוא מכפלה של ראשוניי פרמה שונים זה מזה וחזקה כלשהי של 2.

מספר בעיות פתוחות בתורת המספרים עוסקות במספרי פרמה:

  • האם \,F_n הוא מספר פריק לכל \,n>4 ?
  • האם יש מספר אינסופי של ראשוני פרמה?
  • האם יש מספר אינסופי של מספרי פרמה פריקים?

נכון ל2014 פורקו פירוק מלא לגורמים 11 מספרי פרמה הראשונים, הוכחה פריקותם של כל מספרי פרמה עד מספר פרמה ה-32 ברצף, ונמצאו עוד כ250 מספרי פרמה שהוכחו כפריקים (פירוט מלא ב: http://www.prothsearch.net/fermat.html).

מקורות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • Theory of Numbers, Vol. I, Chapter XV, L.E. Dickson.

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]