מספר קפרקר

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

מספר קַפְּרֵקַר הוא מספר טבעי, השווה לסכום הרישא והסיפא של הייצוג העשרוני של ריבועו. אפשר באותו אופן להגדיר מספרי קפרקר בכל בסיס אחר. המספרים קרויים כך על-שם המתמטיקאי ההודי דאטארייה רמאצ'אנדרה קפרקר.

בניסוח מדויק יותר, X הוא מספר קפרקר (בבסיס b) אם אפשר לפרק X=A+B כך שמתקיים עבור שלם n כלשהו: \ X^2=A\cdot b^n+B, כאשר \ B<b^n.

תיאור מלא[עריכת קוד מקור | עריכה]

Iannucci (ראו מקור להלן) הוכיח שמספרי קפרקר בבסיס b עם רישא באורך n עומדים בהתאמה מלאה לפירוקים של \ b^n-1 לגורמים זרים. היינו, אם \ b^n-1=dd' כאשר d ו- 'd זרים, ו- \ t הוא ההפכי של d מודולו 'd, המקיים \ 0<t<d', אז d*t הוא "מספר קפרקר", וכל מספר קפרקר מתקבל באופן הזה. כך אפשר לתרגם את כל הבעיות הקשורות למספרי קפרקר לשאלות על מחלקים של מספרים מן הצורה \ b^n-1.

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

דוגמה: 9 הוא מספר קפרקר, מכיוון ש- 81 = 9² ו- 9 = 1 + 8. גם 95121 מקיים את אותה תכונה:

95121² = 9048004641.
מספר זה ניתן לפצל לשני המספרים
90480 + 04641 = 95121
וכך חזרנו אל המספר המקורי. לכן 95121 הוא מספר קפרקר.

בסימוני התאור לעיל, \ 9999 = d \cdot d' עבור d=2439 ו- d'=41, וההפכי הוא \ 41^{-1} \equiv 39 \pmod{2439}; המספר 95121 מתקבל כמכפלה \ 2439*39.

מספרי קפרקר הקטנים ביותר בבסיס 10 הם:

1, 9, 45, 55, 99, 297, 703, 999, 2223, 2728, 4879, 4950, 5050, 5292, 7272, 7777, 9999, 17344, 22222, 38962, 77778, 82656, 95121, 99999, 142857, 148149, 181819, 187110, 208495, 318682, 329967, 351352, 356643, 390313, 461539, 466830, 499500, 500500, 533170

בבסיס בינארי, כל המספרים המשוכללים הזוגיים הם גם מספרי קפרקר.

קל להוכיח שכל מספר בבסיס b שהוא מהצורה \ b^n - 1 הוא מספר קפרקר: \ (b^n-1)^2 = b^{2n} - 2b^n +1 ומספר זה ניתן לפצל לרישא \ b^n - 2 ולסיפא 1, שסכומם הוא המספר המקורי \ b^n - 1 (תכונה זו נשמטה מעיניו של קפרקר במאמר שבו הציג את המספרים לראשונה). לפיכך בכל בסיס קיימים אינסוף מספרי קפרקר.

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • D. R. Kaprekar, On Kaprekar numbers, Journal of Recreational Mathematics, 13 (1980-1981), 81-82.
  • M. Charosh, Some Applications of Casting Out 999...'s, Journal of Recreational Mathematics 14, 1981-82, pp. 111-118
  • Douglas E. Iannucci, The Kaprekar Numbers, Journal of Integer Sequences, Vol. 3 (2000), http://www.math.uwaterloo.ca/JIS/VOL3/iann2a.html