מסרק דיראק

מסרק דיראק הוא סדרה אינסופית של הלמים במחזור T.

במתמטיקה, מסרק דיראק או מסרק הלמים (או רכבת הלמים) (בעיבוד אותות) סדרה אינסופית, מחזורית של פונקציית דלתא של דיראק המבוטאת כך:

$\Delta_T(t) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(t - k T)$

ומאחר והסדרה מחזורית היא ניתנת לייצוג כטור פורייה:

$\Delta_T(t) = \frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^{\infty} e^{i 2 \pi n t/T}.$

המסרק של דיראק שימושי מאוד בתחומי הנדסת חשמל, עיבוד אותות ומערכות אופטיות.

תכונת ההכפלה

תכונת ההכפלה נגזרת ישירות מתכונות פונקציית דלתא של דיראק :

$\sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(t - k T) = |\alpha|\cdot \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta\bigg(\alpha\cdot (t - k T)\bigg).$

טור פורייה

ממחזוריות הפונקציה ב T נובע :

$\Delta_T(t+T) = \Delta_T(t) \quad \forall t$.

טור פורייה קומפלקסי לפונקציה מחזורית זו :

$\Delta_T(t) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{i 2 \pi n t/T} \$

כאשר קבועי פוריה הם :

$c_n\,$	$= \frac{1}{T} \int_{t_0}^{t_0 + T} \Delta_T(t) e^{-i 2 \pi n t/T}\, dt \quad ( -\infty < t_0 < +\infty ) \$
	$= \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} \Delta_T(t) e^{-i 2 \pi n t/T}\, dt \$
	$= \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} \delta(t) e^{-i 2 \pi n t/T}\, dt \$
	$= \frac{1}{T} e^{-i 2 \pi n \, 0/T} \$
	$= \frac{1}{T}. \$

והתוצאה :

$\Delta_T(t) = \frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^{\infty} e^{i 2 \pi n t/T}$.

התמרת פורייה

התמרת פורייה של מסרק דיראק הוא גם מסרק דיראק:

$\sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(t - n T) \quad \stackrel{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow}\quad {1\over T}\sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta \left( f - {k\over T} \right) \quad = \sum_{n=-\infty}^{\infty} e^{-i2\pi fnT}$

עד כדי קבוע

$\sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta (t - n T) \quad \stackrel{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow}\quad \frac{\sqrt{2\pi }}{T} \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta \left( \omega -k \frac{2\pi }{T}\right) \quad = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\sum_{n=-\infty}^{\infty} e^{-i\omega nT} \,$

דגימה

הכפלה של אות רציף במסרק דיראק היא אות דגום אידאלי ושימושית מאוד בתורת הדגימה.

ראו גם

• עיבוד אותות

מקורות

• Bracewell, R.N., The Fourier Transform and Its Applications (McGraw-Hill, 1965, 2nd ed. 1978, revised 1986)