מסרק דיראק

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
מסרק דיראק הוא סדרה אינסופית של הלמים במחזור T.

במתמטיקה, מסרק דיראק או מסרק הלמים (או רכבת הלמים) (בעיבוד אותות) סדרה אינסופית, מחזורית של פונקציית דלתא של דיראק המבוטאת כך:

\Delta_T(t) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(t - k T)

ומאחר והסדרה מחזורית היא ניתנת לייצוג כטור פורייה:

\Delta_T(t) = \frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^{\infty} e^{i 2 \pi n t/T}.

המסרק של דיראק שימושי מאוד בתחומי הנדסת חשמל, עיבוד אותות ומערכות אופטיות.

תכונת ההכפלה[עריכת קוד מקור | עריכה]

תכונת ההכפלה נגזרת ישירות מתכונות פונקציית דלתא של דיראק :

\sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(t - k T) = |\alpha|\cdot \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta\bigg(\alpha\cdot (t - k T)\bigg).

טור פורייה[עריכת קוד מקור | עריכה]

ממחזוריות הפונקציה ב T נובע :

 \Delta_T(t+T) = \Delta_T(t) \quad \forall t .

טור פורייה קומפלקסי לפונקציה מחזורית זו :

 \Delta_T(t) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{i 2 \pi n t/T} \

כאשר קבועי פוריה הם :

c_n\, = \frac{1}{T} \int_{t_0}^{t_0 + T} \Delta_T(t) e^{-i 2 \pi n t/T}\, dt \quad ( -\infty < t_0 < +\infty ) \
= \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} \Delta_T(t) e^{-i 2 \pi n t/T}\, dt \
= \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} \delta(t) e^{-i 2 \pi n t/T}\, dt \
= \frac{1}{T} e^{-i 2 \pi n \, 0/T} \
= \frac{1}{T}. \

והתוצאה :

\Delta_T(t) = \frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^{\infty} e^{i 2 \pi n t/T}.

התמרת פורייה[עריכת קוד מקור | עריכה]

התמרת פורייה של מסרק דיראק הוא גם מסרק דיראק:

\sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(t - n T) \quad \stackrel{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow}\quad {1\over T}\sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta \left( f - {k\over T} \right) \quad = \sum_{n=-\infty}^{\infty} e^{-i2\pi fnT}

עד כדי קבוע

\sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta (t - n T) \quad \stackrel{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow}\quad \frac{\sqrt{2\pi }}{T} \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta \left( \omega -k \frac{2\pi }{T}\right) \quad = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\sum_{n=-\infty}^{\infty} e^{-i\omega nT} \,

דגימה[עריכת קוד מקור | עריכה]

הכפלה של אות רציף במסרק דיראק היא אות דגום אידאלי ושימושית מאוד בתורת הדגימה.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

מקורות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • Bracewell, R.N., The Fourier Transform and Its Applications (McGraw-Hill, 1965, 2nd ed. 1978, revised 1986)