מעגל היחידה

במתמטיקה, מעגל היחידה הוא מעגל בעל רדיוס של יחידה אחת (כאשר אין זה משנה מהי היחידה, ומתייחסים אליה בתור המספר הטהור 1), שמרכזו בראשית הצירים של מערכת צירים קרטזית. למעגל היחידה מספר שימושים בטריגונומטריה - באמצעותו ניתן להרחיב את הגדרתן של הפונקציות הטריגונומטריות, ולהגדיר יחידת מידה טבעית לזווית - הרדיאן. מעגל היחידה מסומן לעתים קרובות $\ S^1$.

הגדרת הפונקציות הטריגונומטריות

בהינתן זווית כלשהי, מגדירים אותה כרדיוס ש"מסתובב" נגד כיוון השעון ויוצר את הזווית הזאת עם הכיוון החיובי של ציר ה-x. אם הזווית שלילית, הסיבוב הוא עם כיוון השעון. אם הזווית גדולה מ-360, זה יותר מסיבוב אחד ועל כן הזווית עם ציר ה-x היא השארית של חלוקת הזווית ב-360.

אם הזווית היא $\ t$ ו-$\ (x,y)$ היא הנקודה בה נוגע הרדיוס במעגל, אז נגדיר:

$\ \cos t=x$

$\ \sin t=y$

הגדרת הרדיאן

בהינתן מעגל היחידה, מעבירים רדיוס כך שהקשת שבין הנקודה בה נוגע הרדיוס במעגל ובין חלקו החיובי של ציר X תהיה שווה באורכה לרדיוס (כלומר 1). את הזווית שבין הרדיוס לראשית הצירים מסמנים אז כרדיאן אחד. בגלל שהיקפו של מעגל היחידה הוא $\ 2\pi$, מקבלים כי זווית של סיבוב מלא היא $\ 2\pi$ רדיאנים.

במישור המרוכב

במישור המרוכב מעגל היחידה מורכב מכל המספרים המרוכבים שערכם המוחלט הוא 1 (ובכללם כל שורשי היחידה). לפי נוסחת אוילר כל מספר על מעגל היחידה ניתן להצגה כ-$\ e^{i\theta}$ כאשר $\ \theta$ היא הזווית (ברדיאנים) בין הציר הממשי למספר. איברי מעגל היחידה מהווים חבורה ביחס לכפל מספרים מרוכבים. זוהי חבורה חשובה ושימושית במתמטיקה והיא נקראת חבורת המעגל.

ראו גם

מיזמי קרן ויקימדיה
ספר לימוד בוויקיספר: מעגל היחידה

• כדור (טופולוגיה)
• גאומטריה אנליטית
• קואורדינטות פולריות
• שורשי היחידה
• ריבוע יחידה
• קוביית יחידה