מעגל היחידה

במתמטיקה, מעגל היחידה הוא מעגל בעל רדיוס של יחידה אחת (כאשר אין זה משנה מהי היחידה, ומתייחסים אליה בתור המספר הטהור 1), שמרכזו בראשית הצירים של מערכת צירים קרטזית. למעגל היחידה מספר שימושים בטריגונומטריה - באמצעותו ניתן להרחיב את הגדרתן של הפונקציות הטריגונומטריות, ולהגדיר יחידת מידה טבעית לזווית - הרדיאן. מעגל היחידה מסומן לעתים קרובות $\ S^1$.

הגדרת הפונקציות הטריגונומטריות

בהינתן זווית כלשהי, מגדירים אותה כרדיוס ש"מסתובב" נגד כיוון השעון ויוצר את הזווית הזאת עם הכיוון החיובי של ציר ה-x. אם הזווית שלילית, הסיבוב הוא עם כיוון השעון. אם הזווית גדולה מ-360° (או $\ 2\pi$ רדיאנים), זה יותר מסיבוב אחד ועל כן הזווית עם ציר ה-x היא השארית של חלוקת הזווית ב-360°.

אם הזווית היא $\ t$ ו-$\ (x,y)$ היא הנקודה בה נוגע הרדיוס במעגל, אז נגדיר:

$\ \cos t=x$

$\ \sin t=y$

במישור המרוכב

במישור המרוכב מעגל היחידה מורכב מכל המספרים המרוכבים שערכם המוחלט הוא 1 (ובכללם כל שורשי היחידה). לפי נוסחת אוילר כל מספר על מעגל היחידה ניתן להצגה כ-$\ e^{i\theta}$ כאשר $\ \theta$ היא הזווית (ברדיאנים) בין הציר הממשי למספר. איברי מעגל היחידה מהווים חבורה ביחס לכפל מספרים מרוכבים. זוהי חבורה חשובה ושימושית במתמטיקה והיא נקראת חבורת המעגל.

ראו גם

• כדור (טופולוגיה)
• גאומטריה אנליטית
• קואורדינטות פולריות
• שורשי היחידה
• ריבוע יחידה
• קוביית יחידה