מקדם תקומה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
Gnome-colors-emblem-development-2.svg הערך נמצא בשלבי עבודה: כדי למנוע התנגשויות עריכה ועבודה כפולה אתם מתבקשים שלא לערוך ערך זה בטרם תוסר הודעה זו, אלא אם כן תיאמתם זאת עם מניחי התבנית.
אם הדף לא נערך במשך שבוע ניתן להסיר את התבנית ולערוך אותו, אך רצוי לתת קודם תזכורת בדף שיחת הכותבים.

במכניקה קלאסית, מקדם תקומה הוא גודל פיזיקלי המאפיין את מידת האלסטיות בהתנגשות בין שני גופים. מקדם התקומה הוא מינוס הפרש המהירויות אחרי ההתנגשות חלקי הפרש המהירויות לפני ההתנגשות, כלומר

\ e=-\frac{u_2-u_1}{v_2-v_1}

כאשר \ v_2,v_1 הן מהירויות גוף 1 וגוף 2 לפני ההתנגשות, ו-\ u_2,u_1 הן מהירויות גוף 1 וגוף 2 לאחר ההתנגשות.

מקדם תקומה שערכו אחד מציין התנגשות אלסטית לחלוטין, שבה נשמרת האנרגיה הקינטית, בעוד מקדם תקומה אפס משמעותו התנגשות פלסטית לחלוטין. מקדם תקומה בין אפס לאחד מציין התנגשות ביניים. יש לציין כי מקדם התקומה לא מייצג את כמות האנרגיה הקינטית שהלכה לאיבוד בהתנגשות, אם כי הגדלים קשורים זה בזה.

המהירויות בנוסחה הן סקלרים, כלומר עבור התנגשות המתרחשת בממד אחד. כל התנגשות בין שני גופים ניתן לרשום בממד אחד במערכת הייחוס של מרכז המסה.

מציאת מקדם תקומה[עריכת קוד מקור | עריכה]

מודל להתנגשות של גוף תיבתי בגוף בעל מסה אינסופית. באיור מוראה מערך של שתי קפיצים ומסות שמתנגש ברצפה. במקרה זה, מקדם התקומה מתואר כמאפיין פנימי של הגוף, ללא קשר להתנגשות, והוא מקדם המאפיין את החומר.

הערכת מקדם התקומה של חומר היא תובנה פיזיקלית עמוקה אשר מניבה הבנה עמוקה ומהותית של פיזיקה של התנגשויות. ניתן למדל גוף כמערך של N מסות שבין כל שניים מחבר קפיץ רפוי. ברגע שהגוף נכנס להתנגשות הגוף, דהיינו המערך, סופג זעזוע מסוים, וחלק מהאנרגיה הקינטית המקורית של הגוף הופך לאנרגיה ויברציונית פנימית של הגוף, כך שהגוף חוזר רק עם חלק מהאנרגיה הקינטית המקורית שלו כאנרגיית מרכז מסה. תחת ההנחה שמסתו של הגוף הגדול בין השניים אינסופית ביחס למסת הגוף הקטן בין השניים, ניתן לתאר את מקדם התקומה כמקדם פנימי מאפיין של הגוף לבדו, ללא קשר להתנגשות, וכמאפיין של החומר ממנו הוא עשוי. מצב כזה מתרחש למשל בהתנגשות של גוף ברצפה. מטרת המודל הבא להעריך את מהירות החזרה u כתלות במהירות הפגיעה v ולהעריך את היחס (COR = u/v (Coefficient of restitution.

קירוב ראשון[עריכת קוד מקור | עריכה]

כקירוב ראשון ניקח מערכת של 2 קפיצים ושני מסות, מסת כל מסה m וקבוע הקפיץ k לכל קפיץ. אורכו הרפוי של כל קפיץ L, ומשקל הגופים מוזנח בבעיה. המערכת מתנגשת ברצפה במהירות v, כל הנתונים מוראים באיור. המשוואות הדיפרנציאליות המתארות את תנועת הגופים בזמן הן:

X1"(t) = (L - X1(t))k/m + (X2(t) - X1(t) - L)k/m

X2"(t) = - (X2(t) - X1(t) - L)k/m

כאשר X1(t) הוא מיקום המסה התחתונה בזמן ו-X2(t) מיקום המסה העליונה בזמן, כיוון למעלה מוגדר כחיובי. בביטוי שיתקבל החלפה של m ב-ρLS כאשר ρ צפיפות החומר והחלפה של k ב-YS/L כאשר Y מודול יאנג של החומר , דהיינו m = ρLS ו- k = YS/L ,אמורה להניב את מקדם התקומה של החומר. בביטוי שיתקבל עבור k=∞ נקבל 1 = COR (הגבול האלסטי – התנגשות אלסטית) ועבור k=0 נקבל 0 = COR (הגבול הפלסטי). הכללה ופתרון הבעיה ל-N מסות וקפיצים ולאחר מכן חישוב הגבול של COR כאשר N שואף לאינסוף אמור להניב את מקדם התקומה של החומר.

פתרון המשוואות הדיפרנציאליות:

כדי לפשט את המשוואות ראשית נציג ניסוח חלופי למשוואות באמצעות הצגת הסטייה מנקודות שיווי המשקל בגבהים h=L,2L:

t) (h1(t)-L) = X1(t) ,(h2(t)-2L) = X2) ואז המשוואות הדיפרנציאליות הופכות להיות:

X1"(t) = -X1(t)k/m + (X2(t)-X1(t))k/m

X2"(t) = - (X2(t)-X1(t))k/m'

וכך נפטרנו מ-L. נחבר את המשוואות ונקבל: X1"(t) + X2"(t) = -X1(t)k/m

ומכאן נקבל: X2"(t) = -X1(t)k/m - X1"(t).

נגדיר פונקציה חדשה y1(t) כך ש-(y1"(t) = X1(t ונקבל אחרי אינטגרציה פעמיים על המשוואה: X2(t) = -y1(t)k/m - y1"(t נציב במשוואה הדיפרנציאלית הראשונה ונקבל:

y1"(t) y1(4)(t) = -y1"(t)k/m + (-y1(t)k/m - y1"(t) -)k/m >

ננחש פתרון מהצורה : (y1(t) = Asin (αt) ונקבל אחרי צמצום ב- Asin (αt) את המשוואה ממעלה רביעית :

α4 - 3k/mα2 + (k/m)2 = 0

נסמן z = α2 ונקבל את המשוואה הריבועית:

z2 - 3k/mz + (k/m)2 = 0

פתרון המשוואה הריבועית והוצאת שורש מהשורשים הממשיים נותן:

\alpha_1 = \sqrt{(3-\sqrt{5})/2}*\sqrt{k/m} ו- \alpha_2 = \sqrt{(3+\sqrt{5})/2}*\sqrt{k/m}.

נסמן \omega = \sqrt{k/m} ונקבל \alpha_1 = 0.618\omega ו-\alpha_2 = 1.618\omega . הפתרון ל-(X1(t הוא סופרפוזיציה של שני גלי סינוס בתדרים \alpha_1 ו-\alpha_2 כלומר הוא מהצורה:

X_1(t) = A_1sin (\alpha_1t)+A_2sin (\alpha_2t). תנאי ההתחלה \dot X_1(0) = -V ו- \dot X_2(0) = -V מאפשרים לבנות מערכת של שתי משוואות עם הנעלמים A1 ו-A2. גזירה של X1(t) בזמן t = 0 וכן שימוש במשוואה הדיפרנציאלית \dot X_1(t) + \dot X_2(t) = -y_1(t)k/m ובתנאי \dot X_2(0) = -V נותן את מערכת המשוואות:

A_1\alpha_1 + A_2\alpha_2 = -V

A_1/\alpha_1 - A_2/\alpha_2 = -2V/\omega^2

פתרון המשוואות מניב A_1 =-1/\alpha_1(V(1+\alpha_2\frac{-1/\alpha_1^2 + 2/\omega^2}{\alpha_2/\alpha_1^2 + 1/\alpha_2})) = -1.284V/\omega ו- A_2 = V(\frac{-1/\alpha_1^2+2/\omega^2}{\alpha_2/\alpha_1^2 + 1/\alpha_2}) = -0.127V/\omega . הצבת X_2(t) = B_1sin(\alpha_1t) + B_2sin(\alpha_2t) במשוואה הדיפרנציאלית X_2(t) = -y_1(t)k/m - X_1(t) נותנת:

B_1 = A_1/0.618^2 - A_1 = -2.077V/\omega

B_2 = A_2/1.618^2 - A_2 = -0.205V/\omega

כדי למצוא את הזמן שבו הקפיץ התחתון מתנתק מהקרקע נשווה את(X1(t לאפס ונמצא פתרון נומרי. מתקיים:

\frac{sin (2.618x)}{sin (x)} = -A_1/A_2 = כאשר x = 0.618ωt. ונקבל באמצעות פתרון נומרי רדיאנים t = 5.25/\omega. בשלב זה נרשום Y/ρL2)^0.5 = 0.5^(ω = (k/m) ניקח את הנתונים של פלדה Pa 109 * 2.1 = Y ו- 7900kg/m3 = ρ , ו-L= 1m ונקבל 515.6rad/s = ω הצבה בנגזרות של X1(t) ו-X2(t) בזמן המתאים נותנת \dot X_1(t) + \dot X_2(t) = \alpha_1A_1cos(\alpha_1*5.25/\omega) + \alpha_2A_2cos(\alpha_2*5.25/\omega) + \alpha_1B_1cos(\alpha_1*5.25/\omega)+\alpha_2B_2cos(\alpha_2*5.25/\omega) = = u2 + u1

הכללה ל-N מסות וקפיצים[עריכת קוד מקור | עריכה]

עבור מערך של N מסות וקפיצים נקבל N משוואות דיפרנציאליות עבור כל אחת מהתאוצות של המסות. מתקיים עבור המסה ה-i (המסות ממוספרות מלמטה למעלה):

\ddot X_N(t) = -(X_N(t)- X_{N-1}(t))k/m

                                     . 
                                     .
                                     .  

<><Xi"(t) = (Xi+1(t) - Xi(t))k/m - (Xi</sub(t) - Xi-1(t)k/m

                                     .
                                     .

X1"(t) = -X1(t)k/m + (X2(t)-X1(t))k/m

קישורים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • מאמר שמסביר את קיומו של מקדם תקומה באמצעות מערכת קפיצים ומסות מופיע פה.